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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 543: Komplexe Kurvenintegrale, Residuen

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Gegeben sei die komplexwertige Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^4-1}. $

Bestimmen Sie für $ f(z)$ die folgenden Residuen
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=1} \, f \quad = \quad $$ \Big/$
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=-1} \, f \quad = \quad $$ \Big/$
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=i} \, f \quad = \quad $ i $ \Big/$
$ \displaystyle\mathop{Res}_{z=-i} \, f \quad = \quad $ i $ \Big/$
Weiter seien die folgenden (gegen den Uhrzeigersinn orientierten) Kurven in der komplexen Zahlenebene gegeben

$\displaystyle C_1^+=\{\vert z-1\vert=1\}$

$\displaystyle C_2^+=\{\vert z-1\vert=\sqrt{3}\}$

$\displaystyle C_3^+=\{\vert z\vert=2\}$

$\displaystyle C_4^+=\{\vert z-\frac{1}{2}(i+1)\vert=1\}.$

Bestimmen sie die Integrale

$\displaystyle F_i:= \int\limits_{C_i^+}f(z) \, dz $

$ F_1=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
$ F_2=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
$ F_3=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$
$ F_4=($ $ \Big/$ $ )\, \pi \, + \,($ $ \Big/$ $ )\, i\,\pi$

   
(Aus: Prüfungsvorbereitungskurs)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017