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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 559: Gemeinsame Lösung zweier Differentialgleichungen


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien die Differentialgleichungen

$\displaystyle y''+2y'+2y=0$ (1)

und

$\displaystyle y^{(4)}-2y'''-2y''+8y=0.$ (2)

a)
Zeigen Sie, dass es zwei linear unabhängige Funktionen $ y_1$ und $ y_2$ gibt, die sowohl Lösung der Gleichung (1)als auch der Gleichung (2)sind.
b)
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (2).
c)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle y''-4y'+4y=-\frac{2e^{2x}}{x^3}\ ,\quad (x>0). $

Hinweis: Aufgabenteil c) kann mittels Variation der Konstanten berechnet werden.

Lösung:

a)

Charakteristisches Polynom von (1):

$ \chi_1(\lambda)=$ $ \lambda^2+$$ \lambda+$

Charakteristisches Polynom von (2):

$ \chi_2(\lambda)=$ $ \lambda^4+$ $ \lambda^3+$ $ \lambda^2+$$ \lambda+$

$ \dfrac{\chi_2(\lambda)}{\chi_1(\lambda)}=$ $ \lambda^2+$$ \lambda+$

b)

Berechnen Sie die Nullstellen von $ \chi_2(\lambda)$

$ \lambda_{1,2}=$         $ \lambda_{3,4}=$$ \pm i$

Kreuzen Sie die richtige allgemeine Lösung an:

keine Angabe
$ c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}+c_3e^{\lambda_3x}+c_4e^{\lambda_4x}$
$ c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3e^{\lambda_3x}\sin
x+c_4e^{\lambda_4x}\cos x$
$ c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3e^{\operatorname{Re}(\lambda_3)x}\sin
x+c_4e^{\operatorname{Re}(\lambda_4)x}\cos x$
$ c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}+c_3x^2e^{\lambda_3x}+c_4x^3e^{\lambda_4x}$

c)

Wie sieht der Ansatz mit der Variation der Konstanten aus?

keine Angabe
$ y_\mathrm{p}=c_5(x)e^{\lambda_1x}+c_6(x)e^{\lambda_2x}$
$ y_\mathrm{p}=c_5(x)e^{\lambda_1x}+c_6(x)xe^{\lambda_2x}$
$ y_\mathrm{p}=c_5(x)xe^{\lambda_1x}+c_6(x)xe^{\lambda_2x}$
$ y_\mathrm{p}=c_5(x)e^{\lambda_1x}+c_6(x)x^2e^{\lambda_2x}$

Berechnen Sie die Koeffizienten.

$ c'_5=$ $ x$
 

$ c_5=$ $ x$
 

$ c'_6=$ $ x$
 

$ c_6=$ $ x$
 

Eine partikuläre Lösung lautet

$ y_\mathrm{p}= \Big(1\Big/$ $ x\Big)\cdot e$
$ x$
 

Die Allgemeine Lösung lautet

$ y_\mathrm{p}= \Big(c_7+c_8\ x$
 
$ +\ 1\Big/$ $ x\Big)\cdot e$
$ x$
 


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 10.  8. 2017