Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 560: Berechnung eines uneigentlichen Integrals mit Hilfe von Residuen

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	Interaktive Aufgabe 560: Berechnung eines uneigentlichen Integrals mit Hilfe von Residuen

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a)

Bestimmen Sie die Polstellen der komplexen Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1-z}{\left(z^2+1\right)^2}$

sowie deren Vielfachheit.

b)

Sei

die Polstelle von

mit negativem Imaginärteil. Schreiben Sie

in der Form

$\displaystyle f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^2}$

und berechnen Sie das Residuum der Funktion

im Punkt

c)

Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-x}{\big(x^2+1\big)^2}\,\mathrm{d}x\ ,$

indem Sie die Funktion

über den in der Abbildung dargestellten Weg integrieren und eine geeignete Grenzwertbetrachtung durchführen.

$\includegraphics[width=0.5\linewidth]{pic_weg}$

Lösung:

a)

Polstelle: $z_0\ =\$

Vielfachheit:

Polstelle: $z_1\ =\$ Vielfachheit:

b)

$g(z)\ =\ \big($

$z\big)\Big/\big($

$i\big)^2$

$g'(z)\ =\$ $\dfrac{1}{(z-i)^2}+\big($ $z\big)\dfrac{1}{(z-i)^3}$

$\operatorname{Res}(f,z_0)\ =\$ $\ +\ i\Big/$

c)

Nach dem Residuensatz gilt:

keine Angabe
$\displaystyle\operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle2\pi i \operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle-2\pi i \operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$