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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 957: Lineare Abhängigkeit von Vektoren, Erzeugendensystem, Basis

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Gegeben seien die folgenden Vektoren in  $ \mathbb{R}^3$ :

$\displaystyle v_1=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} ,\quad v_2=\begin{pmat... ...rix}1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix},\quad v_5=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}. $

Sind die Vektoren jeweils linear unabhängig? Bilden sie jeweils ein Erzeugendensystem von $ \mathbb{R}^3$? Bilden sie jeweils eine Basis von $ \mathbb{R}^3$?

Bilden Sie aus den Vektoren $ v_1,\ldots, v_5$ mindestens zwei verschiedene Basen von $ \mathbb{R}^3$ sowie mindestens zwei davon verschiedene Erzeugendensysteme von $ \mathbb{R}^3$.

Lösung:

$ v_1, v_2, v_3$   keine Angabe         linear abhängig         linear unabhängig
$ v_1,\dots, v_5$   keine Angabe         linear abhängig         linear unabhängig
$ v_1, v_5 \phantom{v_x}$   keine Angabe         linear abhängig         linear unabhängig

$ v_1, v_2, v_3$   keine Angabe         Erzeugendensystem         kein Erzeugendensystem
$ v_1,\dots, v_5$   keine Angabe         Erzeugendensystem         kein Erzeugendensystem
$ v_1, v_5 \phantom{v_x}$   keine Angabe         Erzeugendensystem         kein Erzeugendensystem

$ v_1, v_2, v_3$   keine Angabe         Basis         keine Basis
$ v_1,\dots, v_5$   keine Angabe         Basis         keine Basis
$ v_1, v_5 \phantom{v_x}$   keine Angabe         Basis         keine Basis

   

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017