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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 997: Fragen zur Algebra

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Sei $ K$ ein Körper, $ R \neq 0$ ein kommutativer Ring, $ L/\mathbb{Q}$ eine Galois - Erweiterung mit Galoisgruppe $ G .$ $ Q_8$ bezeichnet die Quaternionengruppe der Ordnung $ 8.$ $ p$ und $ q$ seien verschiedene Primzahlen. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
    k.A. wahr falsch
(1) In $ K[x]$ sind irreduzible Elemente auch Primelemente.
(2) Ist $ R$ euklidisch, dann auch $ R[x] .$
(3) $ R$ besitzt maximale Ideale.
(4) $ (\mathbb{Q},+) $ besitzt maximale Untergruppen.
(5) Jeder endlich erzeugte $ K[x]$ - Modul ist noethersch.
(6) $ K \times K$ ist ein Hauptidealbereich.
(7) Ist $ \vert G\vert = p^2q^3$, dann gibt es einen Zwischenkörper $ Z$ mit $ \vert Z: \mathbb{Q}\vert = q^3 .$
(8) Ist $ G \cong Q_8$, dann sind alle Zwischenkörper von $ L/\mathbb{Q}$ normal über $ \mathbb{Q} .$
(9) Sind alle Zwischenkörper von $ L/\mathbb{Q}$ normal und ist $ \vert L:\mathbb{Q}\vert = 8 $, dann ist $ G \cong Q_8 .$
(10) Für jeden Winkel $ \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ ist die Dreiteilung mit Zirkel und Lineal unmöglich.

   
(Aus: Algebra Kimmerle, WS 05/06)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017