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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Interaktive Aufgabe 342:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Lösung: Wir bezeichnen die Reihensummanden jeweils mit $ a_k$.

a)
Quotientenkriterium:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\left\vert a_{k+1}\right\vert}{\... ...ight\vert} = \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{2^k}{2^{k+1}} = \frac{1}{2} < 1 $

Wurzelkriterium:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left\vert a_k\right\vert} = \frac{1}{2} < 1 $

Die Reihe ist also konvergent.
b)
Wurzelkriterium:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{\left\vert a_k\right\ver... ...[k]{3/2^k} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[k]{3}}{2} = \frac{1}{2} < 1 $

Die Reihe muss also konvergieren.
c)
Man kann leicht nachprüfen, dass sowohl das Wurzel- als auch das Quotienkriterium den Grenzwert 1 ergeben, sie führen also nicht zum Ziel. Eine Leibniz-Reihe liegt auch nicht vor. Das Abschätzen nach unten ergibt allerdings: $ a_k = 1/(3k-1) > 1/(3k)$.

Die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3k} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ ist divergent $ \Rightarrow$ die gegebene Reihe ist auch divergent.

[Aufgabe]
  automatisch erstellt am 10.  7. 2008