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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: exponentielle Verteilung zu

Aufgabe 270: exponentielle Verteilung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Die Zufallsvariable $ \mbox{$X$}$ sei exponentiell mit Parameter $ \mbox{$\alpha > 0$}$ verteilt, d.h. es gilt

$ \mbox{$\displaystyle F(x) = \begin{cases} 1-\exp(-\alpha\, x) & \text{f\uml ur }x \geq 0\\ 0 & \text{sonst\; .} \end{cases}$}$

Gib die Dichte an, berechne Erwartungswert und Varianz.

Ableiten der Verteilung $ \mbox{$F(x)$}$ ergibt

$ \mbox{$\displaystyle f(x) = \begin{cases} \alpha\,\exp(-\alpha\, x) & \text{f\uml ur }x \geq 0\\ 0 & \text{ sonst.} \end{cases}$}$

Partielle Integration ergibt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}(X) &=& \int_0^\in... ... &=& \int_0^\infty\exp(-\alpha x)\,dx\\ &=& \alpha^{-1}\; . \end{array}$}$

Partielle Integration ergibt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} {\operatorname{E}}(X^2) &=& \int_0^\... ... 2\int_0^\infty x\, \exp(-\alpha x)\,dx\\ &=& 2\alpha^{-2}\; , \end{array}$}$
damit folgt
$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Var}}(X) \; =\; {\operatorname{E}}(X^2)-(... ...atorname{E}}(X))^2 \; =\; 2\,\alpha^{-2} - (\alpha^{-1})^2 = \alpha^{-2}\; . $}$
(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005