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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Approximation (Poisson, Moivre-Laplace) zu

Aufgabe 272: Approximation (Poisson, Moivre-Laplace)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ein Verteter wird erfahrungsgemäß bei einem Erstbesuch mit einer Wahrscheinlichkeit $ \mbox{$p=0.05$}$ eine Verkauf abschließen.

Wie groß ist die (approximative) Wahrscheinlichkeit dafür, daß er bei $ \mbox{$500$}$ Erstbesuchen mindestens $ \mbox{$30$}$, aber höchstens $ \mbox{$70$}$ Verkäufe abschließt? Berechne sowohl mit de Moivre-Laplace und (ggf. mit Rechnerunterstützung auch mit der Poissonapproximation).

Für die Folge der unabhängigen Zufallsvariablen $ \mbox{$(X_n)_{\mathbb{N}}$}$ gilt $ \mbox{$P(X_n = 1) = 0.05$}$ und $ \mbox{$P(X_n = 0) = 0.95$}$.

Es gilt

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} P(30 \leq 500\cdot \bar{X}_{500} \le... ...\Phi_{0,1}(1.025)\\ &\approx& 1.0000 - 0.8473\\ &=& 0.1527. \end{array}$}$

Bei der Poissonapproximation gilt $ \mbox{$\lambda = np = 25$}$ und es folgt (mit Rechnerunterstützung)

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=30}^{70} p(30 \leq \sum_{i=1}^{500}X_i \leq 70) = \exp(-25) \sum_{k=30}^{70}\frac{25^k}{k!} \approx 0.1821. $}$

Der genaue Wert ist übrigens $ \mbox{$0.1765$}$.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005