Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Korrelation (Summe, Differenz) zu

Aufgabe 278: Korrelation (Summe, Differenz)

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Seien $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ unabhängige Zufallsvariablen gleicher Varianz.

Sind $ \mbox{$X-Y$}$ und $ \mbox{$X+Y$}$ korreliert? Können $ \mbox{$X-Y$}$ und $ \mbox{$X+Y$}$ abhängig sein? Gib gegebenenfalls ein Beispiel an. Was gilt im Falle $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ normalverteilt?

Die Kovarianz ist bilinear und symmetrisch, also gilt

$ \mbox{$\displaystyle {\operatorname{Cov}}(X-Y,X+Y) \; =\; {\operatorname{Cov}... ...Cov}}(Y,Y) \; =\; {\operatorname{Var}}(X) - {\operatorname{Var}}(Y)\; =\; 0. $}$
Die Zufallsvariablen $ \mbox{$X-Y$}$ und $ \mbox{$X+Y$}$ sind also unkorreliert.

Wohl aber können $ \mbox{$X-Y$}$ und $ \mbox{$X+Y$}$ abhängig sein. Sei etwa $ \mbox{$X$}$ so, daß $ \mbox{$P(X=1) = P(X=0) = \frac{1}{2}$}$, sei $ \mbox{$Y$}$ so, daß auch $ \mbox{$P(Y=1) = P(Y=0) = \frac{1}{2}$}$. Dann ist $ \mbox{$P(X+Y=1 {\mbox{ und }} X-Y=1) = P(X=1 {\mbox{ und }} Y=0) = 1/4$}$, wohingegen $ \mbox{$P(X + Y = 1)\cdot P(X - Y = 1) = 1/2\cdot 1/4 = 1/8$}$.

Sind nun aber $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ normalverteilt, so auch $ \mbox{$X+Y$}$ und $ \mbox{$X-Y$}$. Deren Unkorreliertheit haben wir bereits gesehen, und aus ihrer Normalverteiltheit folgt somit die Unabhängigkeit.

(Autoren: Künzer/Meister/Nebe)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 7.  6. 2005