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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1259: Leibnizregel

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Beweisen Sie die Leibnizregel

$\displaystyle (fg)^{(n)}(x_0) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x_0)g^{(n-k)}(x_0) $

Die Leibnizregel beweisen wir mit vollständiger Induktion. Als Induktionsanfang wählen wir $ n=0$ und erhalten $ (fg)^{(0)}=f^{(0)}g^{(0)}$. Für den Induktionsschritt setzen wir die Aussage für $ n$ voraus und beweisen, daß sie auch für $ n+1$ gilt. Hierzu verwenden wir die aus Aufgabe 4.2 i) des ersten Semesters bekannte Aussage

$\displaystyle \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}$    

Wir lassen zur besseren Übersichtlichkeit im Folgenden den Parameter $ x_0$ weg. Dann gilt
$\displaystyle (fg)^{(n+1)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left((fg)^{(n)}\right)^{'} = \left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)} g^{(n-k)}\right)^{'}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(f^{(k+1)}g^{(n-k)}+f^{(k)}g^{g(n-k+1)}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(f^{(k+1)}g^{(n+1-(k+1))}+f^{(k)}g^{g(n+1-k)}\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}\left(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}\right)f^{(k)}g^{(n+1-k)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}f^{(k)}g^{(n+1-k)}$  

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)
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  automatisch erstellt am 20.  6. 2006