Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu: Aufgabe 320: Schwerpunktberechnung

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu
	Aufgabe 320: Schwerpunktberechnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Ein Flächenstück der

-Ebene ist begrenzt von dem Parabelbogen

$\displaystyle \displaystyle x = \frac{2}{a}(2a^2 - z^2)\,,\quad-a \leq z \leq a$

und der Geraden

$\displaystyle x = 2a\,.$

Bestimmen Sie

a): den Schwerpunkt des Flächenstückes
b): das Volumen und den Schwerpunkt des Körpers, der bei Rotation des Flächenstückes um die -Achse entsteht
c): das Trägheitsmoment des Rotationskörpers aus b) bezüglich der -Achse.

a)

Wegen Symmetrie gilt: $S_z=0,\, S_y=0$ .

$\displaystyle S_x$	$\displaystyle =\frac{1}{F_\alpha} \int\limits_{F_\alpha}x\, dF_\alpha$
$\displaystyle F_\alpha$	$\displaystyle =\int\limits_{-\alpha}^{\alpha}\int\limits_{2\alpha}^{4\alpha-\fr... ...ts_{-\alpha}^{\alpha}\left(2\alpha-{\textstyle{\frac{2}{\alpha}z^2}}\right)\,dz$
	$\displaystyle = 2 \left[ 2\alpha z - \frac{2}{3\alpha}z^3\right]_{z=0}^{\alpha} =4\alpha^2-\frac{4}{3}\,\alpha^2 =\frac{8}{3}\,\alpha^2$
$\displaystyle S_x$	$\displaystyle = \frac{3}{8\alpha^2}\int\limits_{-\alpha}^{\alpha}\int\limits_{2... ...ha}\left[\frac{1}{2}\,x^2\right]_{x=2\alpha}^{4\alpha-\frac{2}{\alpha}z^2}\, dz$
	$\displaystyle =\frac{3}{16\alpha^2}\int\limits_{-\alpha}^{\alpha}\left(16\alpha^2-16z^2+{\textstyle{\frac{4}{\alpha^2}}}\,z^4-4\alpha^2\right)\,dz$
	$\displaystyle =\frac{3}{4\alpha^2}\cdot 2\int\limits_{0}^{\alpha}\left(3\alpha^2-4z^2+{\textstyle{\frac{z^4}{\alpha^2}}}\right)\,dz$
	$\displaystyle =\frac{3}{2\alpha^2}\left[3\alpha^2z-\frac{4}{3}\,z^3+\frac{1}{5\alpha^2}\,z^5\right]_{z=0}^\alpha\,=\frac{14}{5}\,\alpha=2.8\,\alpha$

Somit liegt der Schwerpunkt von $F_\alpha$ in $S=\left(\frac{14}{5}\,\alpha,0,0\right)$ .

b)

Berechnung von :
- mit Hilfe der Guldinschen Regel (einfacher Weg)
  
  $\displaystyle V_\alpha$ $\displaystyle =$ Weg des Schwerpunktes $\cdot$ Schnittfläche
  
  $\displaystyle =2\pi\cdot\frac{14}{5}\,\alpha\cdot\frac{8}{3}\alpha^2=\frac{224}{15}\,\pi\alpha^3\approx46.91\alpha^3$
- durch Integration in Zylinderkoordinaten (umständlicher Weg)
  
  $\displaystyle V_\alpha$ $\displaystyle =\int\limits_{K_\alpha}1\,dK_\alpha = \int\limits_{-\alpha}^{\alp... ...lpha} \left[\frac{1}{2}\,r^2\right]_{r=2\alpha}^{4\alpha-\frac{2}{\alpha}z^2}dz$
  
  $\displaystyle = 2\pi \left[12\alpha^3-\frac{16}{3}\,z^3+\frac{4}{5\alpha^2}\,z^5 \right]_{z=0}^{\alpha} =\frac{224}{15}\,\pi\alpha^3$

(Prof. Dr. Eberhard Teufel, Dr. Norbert Röhrl)

[Zurück zur Aufgabe]

automatisch erstellt am 9. 8. 2006