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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Integration - Anwendungen

Länge einer Kurve

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Die Länge $ L$ einer Kurve mit stetig differenzierbarer Parametrisierung $ t\mapsto p(t)$ , $ a\le t\le b$ , ist

$\displaystyle \int_a^b \vert p^\prime(t)\vert\,dt\, . $

Speziell gilt für eine Kurve in der $ xy$ -Ebene mit der Parameterdarstellung $ p(t)=(x(t),y(t))$

$\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{x^\prime(t)^2 + y^\prime(t)^2}\,dt\,. $

Insbesondere hat der Graph einer Funktion $ y=f(x)\,,\,x\in[c,d]$ die Länge

$\displaystyle L = \int_c^d \sqrt{1 + f^\prime(x)^2}\,dx\,. $

Die Länge des Kurvenstücks zwischen $ p(a)$ und $ p(t)$ ,

$\displaystyle s(t) = \int\limits_a^t \vert p'(\tau)\vert\,d\tau \,, $

kann als kanonischer Kurvenparameter benutzt werden. Man erhält die sogenannte Parametrisierung nach Bogenlänge:

$\displaystyle q(s) = p(t),\quad\vert q'\vert = 1 \,. $

Aufgrund des normierten Tangentenvektors gilt für diese kanonische Parametrisierung

$\displaystyle \int\limits_{C} f = \int\limits_0^{L} f(q(s))\,ds $

mit $ L$ der Länge von $ C$ .
(Autoren: Höllig/Hörner)

Zur Berechnung der Länge einer ebenen Kurve wird das Parameterintervall unterteilt und für ein Teilintervall $ [t_{i-1},t_{i}]$ die Kurve durch die Verbindungsstrecke der Endpunkte ersetzt.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{kurvenlaenge_1.eps}

Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt dann:

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \Delta s_i$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sqrt{(\Delta x_i)^2+(\Delta y_i)^2 }$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \sqrt{(p_1'(\xi_i))^2+(p_2'(\eta_i))^2}\,\Delta t_i\,,$  

mit $ \xi_i, \eta_i \in [t_{i-1},t_i]$ . Der letzte Ausdruck ist die Riemann-Summe des angegebenen Integrals.

Für mehrdimensionale Kurven ergibt sich entsprechend die Norm des Ableitungsvektors als Integrand.

(Autoren: Höllig/Hörner)
Rollt ein Kreis mit Radius $ r$ auf der $ x$-Achse ab, so beschreibt ein Randpunkt eine Zykloide.

\includegraphics[width=\textwidth]{zykloide}

Für den Ursprung als Startpunkt ist

$\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} x(t) &=& t+r\cos(3\pi/2-t/r) = t-r\sin(t/r)\\ y(t) &=& r+r\sin(3\pi/2-t/r) = r-r\cos(t/r) \end{array} \right., $

mit $ t \in [0,2\pi r]$, eine Parametrisierung eines Kurvenbogens.

Die Länge des Bogens ist

$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{2\pi r} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_0^{2\pi r} \sqrt{(1-\cos(t/r))^2 + (\sin(t/r))^2}\,dt\,.$  

Mit der Substitution $ s = t/r$, $ dt = r\,ds$ und den Identitäten

$\displaystyle \cos^2{\varphi} + \sin^2{\varphi} = 1\,,\quad 1-\cos{(2\varphi)} = 2\,\sin^2{\varphi} $

erhält man
$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\,\int_0^{2\pi} \sqrt{2(1-\cos(s))}\,ds = r\,\int_0^{2\pi} 2\sin(s/2)\,ds = 8\,r\,.$  

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 20.4.2011