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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Determinanten

Basistest

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Die Vektoren $ a_1,\dots,a_n \in K^n$ bilden genau dann eine Basis, wenn die Determinante der Matrix $ A = \left(a_1,\dots,a_n \right)$ nicht verschwindet.
(Autoren: Höllig/Hörner)

Ist die erste Zeile von $ A$ Null, so ist die Behauptung offensichtlich. Andernfalls kann man nach einer eventuellen Permutation der Spalten annehmen, daß $ a_{1,1}\ne 0$ und die Spalten $ a_j$ wie folgt modifizieren:

$\displaystyle a_j \to a'_j = a_j - \frac{a_{1,j}}{a_{1,1}}\, a_1, \quad j=2,\ldots,n\, . $

Diese Spaltenoperationen lassen sowohl die Determinante als auch die Basiseigenschaft der Spalten unverändert. Die modifizierte Matrix hat die Form

$\displaystyle A' = \left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & 0 & \cdots & 0 \\ c & & B \end{array}\right)\, . $

Nach dem Entwicklungssatz gilt

$\displaystyle \operatorname{det}A' = a_{1,1} \operatorname{det}B\, , $

und da $ a_{1,1}\ne 0$ sind die Spalten von $ A'$ genau dann eine Basis von $ K^n$, wenn die Spalten von $ B$ eine Basis von $ K^{n-1}$ sind. Die Behauptung kann also induktiv bewiesen werden.
(Autoren: Höllig/Hörner)
Am Beispiel von

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc} a&b \\ c&d \end{array}\right) $

lässt sich der Basistest verdeutlichen.

Besteht eine der Spalten oder Zeilen nur aus Nullen ergibt sich für die Determinante 0. In diesem Fall ist der Rang der Matrix maximal 1 und damit bilden die Spalten keine Basis.

Andererseits folgt aus $ ad=bc$

$\displaystyle a\left(\begin{array}{r}b\\ d\end{array}\right)-b \left(\begin{arr... ...\ c\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}ab-ba\\ ad-bc\end{array}\right)=0 $

und damit sind die Spalten linear abhängig.

Sind die Spalten von $ A$ linear abhängig, gilt also

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}b\\ d\end{array}\right)= \lambda\left(\begin{array}{r}a\\ c\end{array}\right)\,, $

so berechnet sich die Determinante zu

$\displaystyle \operatorname{det}A=ad-bc=a\lambda c - \lambda a c =0\,. $

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.5.2011