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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Extremwerte

Lagrange-Multiplikatoren

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Ist $ x_*$ eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion $ f$ unter den Nebenbedingungen $ g_i(x)=0$, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren $ \lambda_i$, so dass

$\displaystyle f^\prime(x_*) = \lambda^{\operatorname t}g^\prime(x_*) \, . $

Dabei wird vorausgesetzt, dass $ f$ und $ g$ in einer Umgebung von $ x_*$ stetig differenzierbar sind und dass die Jacobi-Matrix $ g^\prime(x_*)$ vollen Rang hat.

Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfache Form

$\displaystyle \operatorname{grad} f(x_*) \; \parallel \; \operatorname{grad} g(x_*) \,, $

falls $ \operatorname{grad} g(x_*)\neq 0$, d.h. die Niveauflächen von $ f$ und $ g$ berühren sich an einer Extremstelle.

Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dies lässt sich nur mit Hilfe weiterer Informationen feststellen.

Die globalen Extrema erhält man durch den Vergleich der Funktionswerte an den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfüllen, sowie gegebenenfalls denen auf dem Rand der zulässigen Menge oder einem Rangverlust von $ g^\prime$.

Sei $ n$ die Anzahl der Variablen und $ m$ die der Nebenbedingungen.

Für $ m\ge n$ ist nichts zu zeigen, denn ein beliebiger $ n$-Vektor ist als Linearkombination von $ n$ linear unabhängigen Zeilen von $ g^\prime$ darstellbar.

Für $ m<n$ sei $ x=(u,v)\in\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^{n-m}$ eine Partition der Variablen, wobei nach eventueller Permutation die Invertierbarkeit von $ g_u(u_\star,v_\star)$ vorausgesetzt wird. Dann sind nach dem Satz über implizite Funktionen die Nebenbedingungen lokal auflösbar:

$\displaystyle g(u,v)=0 \Leftrightarrow u=\varphi(v),\quad v\approx v_\star\, . $

Folglich verschwindet an einem Extremum der Gradient der Funktion $ v \mapsto f(\varphi(v),v)$:

$\displaystyle f_u(u_\star,v_\star)\varphi^\prime(v_\star) + f_v(u_\star,v_\star) = 0\,.$    

Durch Differenzieren der Nebenbedingung $ g(\varphi(v),v)=0$ folgt weiter

$\displaystyle \quad \varphi^\prime(v) = -g_u(u,v)^{-1} g_v(u,v)\,.$    

Nach Einsetzen von $ \varphi^\prime$ in den Gradienten ist ersichtlich, dass mit

$\displaystyle \lambda = f_u(u_\star,v_\star) g_u(u_\star,v_\star)^{-1} $

die Gleichungen

$\displaystyle f_u = \lambda g_u,\quad f_v = \lambda g_v \,, $

die den $ u$- und $ v$-Komponenten der Bedingung $ f^\prime=\lambda g^\prime$ entsprechen, im Punkt $ (u_\star,v_\star)$ erfüllt sind.

Die Funktion

$\displaystyle f(x,y) = y$

besitzt unter der Nebenbedinung

$\displaystyle g(x,y) = y^3 - x^2 = 0$

offensichtlich bei $ (0,0)$ ein lokales Minimum.

\includegraphics[width=0.4\linewidth]{bsp_singulaer2}

Allerdings ist die Lagrange-Bedingung $ (f_x,f_y)+\lambda(g_x,g_y)=0$ nicht erfüllt:

$\displaystyle (0,1) + \lambda ( -2 x_*, 3y_*^2) \neq (0,0)\, . $

Dies liegt daran, dass die Jacobi-Matrix $ g^\prime(x_*,y_*) = (0,0)$ keinen vollen Rang hat. Das lokale Verhalten von $ g$ wird durch Terme höherer Ordnung beschrieben. Die Lagrange-Bedingung ist in einem solchen singulären Punkt nicht anwendbar.
Für das Minimierungsproblem

$\displaystyle f(x,y)=(x-3)(y-3)\rightarrow\min,\quad g(x,y)= x^2+y^2-2=0 \,, $

lautet die Langrange-Bedingung

$\displaystyle (y-3,x-3)=\lambda(2x,2y)\,. $

Elimination von $ \lambda$ ($ x=0$, $ y=3$ ist wegen der Nebenbedingung nicht möglich) ergibt

$\displaystyle y(y-3)-x(x-3)=0 \quad \Leftrightarrow \quad (y-x)(x+y-3)=0 \,. $

In Verbindung mit der Nebenbedingung $ x^2+y^2-2=0 $ erhält man als mögliche Extremstellen $ (1,1)$ und $ (-1,-1)$. Da eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge sowohl ein Minimum als auch ein Maximum besitzt, zeigt ein Vergleich der Funktionswerte, dass $ f$ bei $ (1,1)$ minimal und bei $ (-1,-1)$ maximal wird.

Gesucht sind die Extrema von

$\displaystyle f(x,y,z) = x + 2y - z$

unter den Nebenbedingungen

$\displaystyle x^2 + y^2 - 8 = 0,\quad x+z-4 = 0\,, $

die als Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene eine Ellipse beschreiben.

Die Jacobi-Matrix für die Nebenbedingungen ist

$\displaystyle \begin{pmatrix}2x & 2y & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,. $

Sie hat nur für $ x=y=0$ keinen vollen Rang. Dieser Fall kann aufgrund der Nebenbedingungen nicht auftreten. Zu einem Extremum $ (x,y,z)$ existieren folglich jeweils Lagrange-Multiplikatoren $ \lambda_1, \lambda_2$ so, dass

$\displaystyle (1, 2 , -1) = (\lambda_1, \lambda_2) \begin{pmatrix}2x & 2y & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $

bzw.

$\displaystyle 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\lambda_1 x + \lambda_2$  
$\displaystyle 2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\lambda_1 y$  
$\displaystyle -1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lambda_2 \,.$  

Setzt man $ \lambda_1 =1/y$ und $ \lambda_2=-1$ in die erste Gleichung ein, so folgt $ x = y$. Aus den Nebenbedingungen erhält man als mögliche Extrema $ (2,2,2)$ und $ (-2,-2,6)$. Da auf der Ellipse sowohl Minimum als auch Maximum existieren müssen, zeigt ein Vergleich der Funktionswerte

$\displaystyle f(-2,-2,6)=-12<4=f(2,2,2)\,, $

dass $ f$ bei $ (-2,-2,6)$ minimal und bei $ (2,2,2)$ maximal wird.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017