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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Pendel

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Die Auslenkung eines idealen Pendels wird durch

$\displaystyle \vartheta^{\prime\prime} = -\sin\vartheta $

beschrieben.

\includegraphics[height=0.3\moimagesize]{pendel.eps}

Die potentielle Energie ist $ \Phi(\vartheta)=-\cos\vartheta$, und man erhält für die Gesamtenergie

$\displaystyle E = \frac{1}{2}(\vartheta^\prime)^2-\cos\vartheta $

bzw.

$\displaystyle \vartheta^\prime = \pm \sqrt{2(E+\cos \vartheta)}\,. $

\includegraphics[width=0.5\moimagesize]{Phasenebene_Pendel1.eps}
Anhand des abgebildeten Phasendiagramms kann man 3 qualitativ verschiedene Fälle unterscheiden.
(i)
Für $ E<1$ sind die Lösungen periodisch, da $ \cos \vartheta$ den Wert $ -1$ nicht annehmen kann. Die Periode $ T$ lässt sich aus der maximalen Auslenkung $ \vartheta_{\max}$ berechnen:

$\displaystyle T = 4 \int\limits_0^{\vartheta_{\max}} \frac{dt}{d\vartheta} d\va... ...rtheta^\prime)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{2(\cos\vartheta - \cos\vartheta_{\max})}} $

wobei $ E = -\cos\vartheta_{\max}$ benutzt wurde.
(ii)
Für $ E > 1$ wird die Geschwindigkeit $ \vartheta'$ nie null. Das Pendel schwingt über.
(iii)
Im Grenzfall $ E=1$ (fett gezeichnete Lösungskurven) nähert sich das Pendel dem instabilen höchsten Punkt, ohne ihn jedoch in endlicher Zeit zu erreichen.
(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 6.6.2011