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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Allgemeine Theorie

Eindeutigkeit der Lösung

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Ist $ f(t,u)$ in einer Umgebung $ D \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$ von $ (t_0,a)$ Lipschitz-stetig bzgl. $ u$, dann ist die Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle u^\prime(t)=f(t,u(t)),\quad u(t_0)=a $

in $ D$ eindeutig.

In Verbindung mit dem Satz von Peano garantiert also die Lipschitz-Stetigkeit von $ f$ die lokale Existenz einer eindeutigen Lösung.

(Autoren: Fuchs/Höllig)

Für zwei Lösungen $ u_1$ und $ u_2$ der Differentialgleichung folgt aus

$\displaystyle u_1^\prime(t)-u_2^\prime(t)=f(t,u_1(t))-f(t,u_2(t)) $

durch Integration

$\displaystyle u_1(t)-u_2(t)=\int\limits_{t_0}^t(f(x,u_1(x))-f(x,u_2(x)))\,dx\,. $

Mit Hilfe der Lipschitz-Bedingung erhält man für $ \varphi(t)=\vert u_1(t)-u_2(t)\vert$ die Abschätzung

$\displaystyle 0\leq\varphi(t)\leq\int\limits_{t_0}^tL\vert u_1(x)-u_2(x)\vert\,dx\leq L\int\limits_{t_0}^t\varphi(x)\,dx\,. $

Aus dem Lemma von Gronwall folgt damit $ \varphi(t)=0$, d.h. $ u_1(t)=u_2(t)$.
(Autoren: Fuchs/Höllig)

Für die Differentialgleichung

$\displaystyle u^\prime = u^2 $

gilt

$\displaystyle \frac{f(u_1)-f(u_2)}{u_1-u_2}=u_1+u_2\,, $

und somit existiert für $ f$ nur eine lokale Lipschitz-Konstante. Dies hat zur Folge, dass für das Anfangswertproblem keine global stetige Lösung existieren muss. Tatsächlich hat die Lösung

$\displaystyle u(t) = \frac{u(t_0)}{1-u(t_0)(t-t_0)} $

einen Pol für $ t = t_0 + \frac{1}{u(t_0)}$.

Die Differentialgleichung

$\displaystyle u^\prime = \sin u $

erfüllt eine Lipschitz-Bedingung mit Konstante $ L=1$. Somit existiert für jede Anfangsbedingung eine globale Lösung. Dies wird durch die expliziten Lösungen

$\displaystyle u(t) = 2\arctan\left(ce^t\right)+2k\pi\quad {\rm bzw. }\quad u(t)=k\pi $

bestätigt.
(Autoren: Fuchs/Höllig)
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  automatisch erstellt am 6.6.2011