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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Differentialgleichungssysteme - Lineare Systeme

Diagonalisierbares System linearer Differentialgleichungen

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Ist die Matrix $ A$ durch $ Q$ diagonalisierbar,

$\displaystyle Q^{-1} A Q = \operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) \,, $

dann lässt sich das Differentialgleichungssystem $ u^\prime = Au + b(t)$ entkoppeln. Mit

$\displaystyle u = Qv,\quad c = Q^{-1} b $

ist

$\displaystyle v_i^\prime = \lambda_i v_i + c_i(t),\quad i=1,\ldots,n \,. $

Diese skalaren linearen Differentialgleichungen können explizit gelöst werden:

$\displaystyle v_i(t)=\exp(\lambda_i t)\left(\exp(-\lambda_i t_0)v_i(t_0)+\int\limits_{t_0}^tc_i(s)\exp(-\lambda_i s)\,ds\right)\,. $

(Autoren: Fuchs/Höllig)
Das lineare Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime = \underbrace{\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 2 & 3 \e... ..._A u + \underbrace{ \left( \begin{array}{c}1 \\ t \end{array} \right)}_{b(t)} $

ist durch die orthogonale Matrix

$\displaystyle Q = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) $

diagonalisierbar. Mit $ v = Q^{\operatorname t}u$ erhält man

$\displaystyle v^\prime = \left( \begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \r... ... + \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} 1+t \\ 1-t \end{array} \right)\,. $

Für den Anfangswert $ v(0) = (1,0)^{\operatorname t}$ ergibt sich
$\displaystyle v_1(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{5t} \left(1+ \int\limits_0^t \frac{1+s}{\sqrt{2}} e^{-5s}ds\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{5t} \left(1+ \frac{3}{25}\sqrt{2}-\frac{1}{10}\sqrt{2}te^{-5t}-\frac{3}{25}\sqrt{2}e^{-5t}\right)$  
$\displaystyle v_2(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^t \left( \int\limits_0^t \frac{1-s}{\sqrt{2}} e^{-s} ds\right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2} e^t \sqrt{2}\,te^{-t} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \,t\,.$  

Nach Rücktransformation erhält man schließlich

$\displaystyle u(t) = Q v(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{c} v_1(t) ... ...2}{e^{5\,t}}-3/5\,\sqrt {2}t-{\frac {3}{25}}\,\sqrt {2} \end{array}\right) \,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 6.6.2011