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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen erster Ordnung

Bernoullische Differentialgleichung

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Die Differentialgleichung

$\displaystyle u^\prime + p u = q u^k,\quad k\ne0,1\,, $

lässt sich durch die Substitution

$\displaystyle y = u^{1-k},\quad y^\prime = (1-k) u^{-k} u^\prime $

in die lineare Differentialgleichung

$\displaystyle \frac{1}{1-k}\,y^\prime = -py + q $

überführen.

Speziell erhält man für konstantes $ p$ und $ q$

$\displaystyle y=\frac{q}{p}+c\exp(p(k-1)x) $

bzw.

$\displaystyle u = \left( \frac{q}{p} + c \exp(p(k-1)x) \right)^{\frac{1}{1-k}} $

mit $ c \in \mathbb{R}$.
(Autoren: Fuchs/Höllig)
Es soll die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

$\displaystyle u^\prime + 3u = xu^2,\ u(0) = 1, $

bestimmt werden.

Mit der Substitution $ y = 1/u$ erhält man

$\displaystyle -y^\prime = -3y + x $

mit der allgemeinen Lösung

$\displaystyle y = \int\limits_0^x e^{3x-3s}(-s)ds + ce^{3x}\,. $

Aus der Anfangsbedingung folgt $ c=1$ und nach Integration erhält man

$\displaystyle y = \frac{8}{9}e^{3x}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{9} $

bzw.

$\displaystyle u = \frac{9}{8e^{3x}+3x+1}\,. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 6.6.2011