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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Laplace-Transformation - Laplace-Transformation von Anfangswertproblemen

Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung

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Die Laplace-Transformation der Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle u^{\prime\prime} + p u^\prime + q u = f(t), \quad u(0) = a,\, u^\prime(0) = b $

ist

$\displaystyle U(s) = \frac{1}{s^2+ps+q}\left(F(s)+as+ap+b\right)\,. $

Die Lösung kann also durch Faltung berechnet werden,

$\displaystyle u = \underbrace{a\varphi^\prime + (ap+b)\varphi}_{u_h}+\underbrace{\varphi \star f}_{u_p}\,, $

bzw. durch direkte Rücktransformation von $ U(s)$.

Bezeichnen $ \lambda$ und $ \varrho$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $ \Phi^{-1} = s^2+ps+q$, so gilt

$\displaystyle \varphi(t) = \left\{\begin{array}{cr} \displaystyle{ \frac{e^{\la... ...\\ [-1ex] \\ t e^{\lambda t}\,,\quad &\lambda = \varrho\,. \end{array}\right. $

(Autoren: Höllig/Kreitz)

Die Laplace-Transformation der Differentialgleichung führt auf

$\displaystyle s^2U(s)-su(0)-u^\prime(0)+p(sU(s)-u(0))+qU(s)=F(s)\,, $

und mit $ u(0)=a, u^\prime(0)=b$ ergibt sich die Formel für $ U$.

Im Fall $ \lambda \neq \varrho$ ergibt eine Partialbruchzerlegung

$\displaystyle \Phi(s) = \frac{1}{\lambda - \varrho} \left( \frac{1}{s-\lambda} - \frac{1}{s-\varrho}\right)\,, $

und es folgt

$\displaystyle \varphi(t) = \frac{e^{\lambda t}-e^{\varrho t}}{\lambda -\varrho}\,. $

Die Rücktransformation der einzelnen Terme ist damit
$\displaystyle \Phi(s)F(s)$ $\displaystyle \longrightarrow$ $\displaystyle (\varphi \star f)(t)\,,$  
$\displaystyle \Phi(s)as$ $\displaystyle \longrightarrow$ $\displaystyle a \varphi^\prime(t)\,,$  
$\displaystyle \Phi(s)(ap+b)$ $\displaystyle \longrightarrow$ $\displaystyle (ap+b)\varphi(t)\,,$  

wobei für den zweiten Term $ \varphi(0)=0$ benutzt wurde.

Den Fall $ \lambda = \varrho$ beweist man analog.

(Autoren: Fuchs/Höllig)

Das Anfangswertproblem

$\displaystyle u^{\prime\prime}-3u^\prime+2u=1\ ,\quad u(0)=0,\ u^\prime(0)=1 $

hat die Laplace-Transformation

$\displaystyle U(s)=\frac{1}{s^2-3s+2}\left(\frac{1}{s}+1\right)\ . $

Die Partialbruchzerlegung von $ U(s)$ ergibt

$\displaystyle U(s)=\frac{3}{2}\frac{1}{s-2}-2\,\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}\,\frac{1}{s}\,, $

und daraus erhält man durch inverse Laplace-Transformation der einzelnen Ausdrücke die Lösung

$\displaystyle u(t)=\frac{3}{2}\exp(2t)-2\exp(t)+\frac{1}{2}\ . $

(Autoren: Fuchs/Höllig)

Das Anfangswertproblem

$\displaystyle u^{\prime\prime}+2u^\prime+5u=\exp(-3t)\ ,\quad u(0)=0,\ u^\prime(0)=0 $

hat die Laplace-Transformation

$\displaystyle U(s)=\frac{1}{s^2+2s+5}\ \frac{1}{s+3}\ . $

Die Partialbruchzerlegung von $ U(s)$ ergibt

$\displaystyle U(s)=\frac{1}{8}\frac{1}{s+3}-\frac{1}{8}\frac{s+1}{(s+1)^2+4}+ \frac{1}{8}\frac{2}{(s+1)^2+4}\,, $

und daraus erhält man mit der inversen Laplace-Transformation die Lösung

$\displaystyle u(t)=\frac{1}{8}\exp(-3t)-\frac{1}{8}\exp(-t)\cos(2t)+\frac{1}{8}\exp(-t)\sin(2t)\ . $

(Autoren: Fuchs/Höllig)
Es soll das Anfangswertproblem

$\displaystyle u^{\prime\prime} + u = f\,, \quad u(0)=u^\prime(0)=0 $

für die abgebildete Impulsfunktion $ f$ gelöst werden.

\includegraphics[width=.5\moimagesize]{Loesungsbeispiel.eps}

Das charakteristische Polynom $ \Phi(s)^{-1} = s^2+1$ hat die Nullstellen $ \pm \mathrm{i}$. Folglich ist

$\displaystyle \varphi(t) = \frac{e^{\mathrm{i}t}-e^{-\mathrm{i}t}}{2\mathrm{i}} = \sin t\,, $

und die Lösung hat die Darstellung

$\displaystyle u(t) = \int\limits_0^t \sin(t-s)f(s)ds\,. $

Aufgrund der stückweisen Definition von $ f$ sind 2 Fälle zu unterscheiden.

Für $ t \in [2\ell \pi, (2\ell +1) \pi]$ ist

$\displaystyle u(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{\ell-1} \int\limits_{2k\pi}^{(2k+1)\pi} \sin(t-s)ds + \int\limits_{2\ell \pi}^t \sin(t-s)ds$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{\ell-1} (\cos(t-\pi)- \cos t) + (1-\cos t)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - (2\ell +1)\cos t\,.$  

Für $ t \in [(2\ell+1)\pi, (2\ell+2)\pi]$ ist $ \int_{2\ell \pi}^t \dots$ durch $ \int_{2\ell \pi}^{(2\ell+1)\pi} \dots$ zu ersetzen, und man erhält

$\displaystyle u(t) = -(2\ell +2) \cos t\,. $

Wie auch aus der Abbildung ersichtlich ist, wächst die Lösung wie im Resonanzfall linear an.

(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 6.6.2011