Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]
Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Spezielle skalare Differentialgleichungen - Differentialgleichungen erster Ordnung

Homogene Differentialgleichung

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Die Differentialgleichung

$\displaystyle y^\prime = f(y/x) $

lässt sich durch die Substitution

$\displaystyle x z(x) = y(x),\quad z + x z^\prime = f(z) $

in die separable Differentialgleichung

$\displaystyle z^\prime=\frac{1}{x}(f(z)-z) $

überführen.
(Autoren: Fuchs/Höllig)

Für das Anfangswertproblem

$\displaystyle y^\prime = \frac{y^2+x^2}{yx},\qquad y(1)=2 $

lässt sich die rechte Seite in der homogenen Form

$\displaystyle \frac{y^2/x^2+1}{y/x} $

schreiben. Mit der Substitution $ xz=y$ erhält man

$\displaystyle z^\prime = \frac{1}{x}\left(\frac{z^2+1}{z}-z\right) = \frac{1}{xz} $

und nach Separation der Variablen

$\displaystyle zz^\prime =\frac{1}{x}\,. $

Nach Integration folgt

$\displaystyle \frac{1}{2}z^2=\ln\vert x\vert+c\,, $

und Berücksichtigung des Anfangswertes $ y(1) = z(1) = 2$ ergibt $ c=2$ und

$\displaystyle y=x\underbrace{\sqrt{2\ln\vert x\vert+4}}_z\,. $

(Autoren: Fuchs/Höllig)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 6.6.2011