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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Integration

Integrationstechniken

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Partielle Integration.

Die Produktregel der Differentiation kann umgekehrt auch zur Berechnung einer Stammfunktion verwandt werden.

Sei $ \mbox{$I\subseteq \mathbb{R}$}$ ein Intervall. Seien $ \mbox{$u,v: I\longrightarrow \mathbb{C}$}$ stetig differenzierbar. Wir können

$ \mbox{$\displaystyle \int u(x)v'(x)\,{\mbox{d}}x \; =\; u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,{\mbox{d}}x $}$
rechnen. Hierbei ist der Faktor $ \mbox{$v'(x)$}$ so zu wählen, daß seine Stammfunktion $ \mbox{$v(x)$}$ berechenbar ist, und so, daß insgesamt $ \mbox{$u'(x)v(x)$}$ günstig aufzuleiten ist. Zu letzterem kann durchaus eine weitere partielle Integration nötig werden.

Sind Integrationsgrenzen $ \mbox{$a,\, b\in I$}$, $ \mbox{$a < b$}$, gegeben, so wird also

$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b u(x)v'(x)\,{\mbox{d}}x \; =\; [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,{\mbox{d}}x\; . $}$

Substitution.

Die Kettenregel der Differentiation kann umgekehrt auch zur Berechnung einer Stammfunktion verwandt werden.

Sei $ \mbox{$I\subseteq \mathbb{R}$}$ ein Intervall, und sei $ \mbox{$f:I\longrightarrow \mathbb{C}$}$ eine stetige Funktion. Sei ferner $ \mbox{$J\subseteq \mathbb{R}$}$ ein Intervall, und sei $ \mbox{$u:J\longrightarrow I$}$ stetig differenzierbar. Dann ist

$ \mbox{$\displaystyle \int f(u(x)) u'(x)\,{\mbox{d}}x \; =\; \int f(u(x)) \fra... ...x{d}}x \; =\;\left.\int f(u)\,{\mbox{d}}u\;\right\vert _{u \; =\; u(x)}\; . $}$
Erkennt man also, daß der Integrand von der Form $ \mbox{$f(u(x)) u'(x)$}$ ist, so kann man nach der Variablen $ \mbox{$u$}$ aufleiten, und im Ergebnis $ \mbox{$u = u(x)$}$ wieder einsetzen. Liegen Integrationsgrenzen $ \mbox{$a,b\in\mathbb{R}$}$ vor, so müssen diese mitsubstituiert werden, d.h. es wird
$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b f(u(x)) u'(x)\,{\mbox{d}}x \; =\; \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,{\mbox{d}}u\; . $}$

Mit etwas Geschick kann man die Substitutionsregel auch in der anderen Richtung anwenden. Ist $ \mbox{$u$}$ invertierbar, und schreiben wir $ \mbox{$x = x(u)$}$ für ihre Umkehrfunktion, so ist auch

$ \mbox{$\displaystyle \int f(x)\,{\mbox{d}}x \; =\; \left.\int f(x(u))x'(u)\,{\mbox{d}}u\;\right\vert _{u \; =\; u(x)}\; . $}$
Geschick ist hier in der Tat erforderlich, denn die rechte Seite zu integrieren sollte ein einfacheres Problem darstellen als die linke Seite zu integrieren.

Liegen Integrationsgrenzen $ \mbox{$a,b\in\mathbb{R}$}$ vor, so müssen diese mitsubstituiert werden, d.h. es wird

$ \mbox{$\displaystyle \int_a^b f(x)\,{\mbox{d}}x \; =\; \int_{u(a)}^{u(b)} f(x(u))x'(u)\,{\mbox{d}}u\; . $}$

Beispiel.

Bei Integralen der Form

$ \mbox{$\displaystyle \int R(\sin x, \cos x)\;{\mbox{d}}x $}$
wobei $ \mbox{$R$}$ eine rationale Funktion, d.h. ein Quotient zweier Polynome ist, führt die Substitution $ \mbox{$u = \tan(x/2)$}$ auf
$ \mbox{$\displaystyle \sin x \; =\; {\displaystyle\frac{2u}{1+u^2}}\; ,\hspace... ...frac{{\mbox{d}}x}{{\mbox{d}}u}} \; =\; {\displaystyle\frac{2}{1 + u^2}}\; , $}$
und also auf
$ \mbox{$\displaystyle \int R(\sin x, \cos x)\;{\mbox{d}}x \; =\; \left.\int R... ...splaystyle\frac{2\,{\mbox{d}}u}{1 + u^2}} \;\right\vert _{u = \tan(x/2)}\; , $}$
was sich mit Partialbruchzerlegung lösen läßt.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 18.6.2004