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Mathematik-Online-Kurs: Numerische Methoden der Analysis - Integration - Quadraturformeln

Konvergenz der Gauß-Quadratur

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Für eine stetige Funktion $ f$ konvergieren die Approximationen

$\displaystyle s_n f = \sum_{i=1}^n w_i^n f(x_i^n) $

der Gauß-Quadratur für ein Integrationsintervall $ [a,b]$ mit wachsender Zahl $ n$ der Knoten gegen $ \int_a^b f$.

(Autoren: Höllig/Hörner )

Nach dem Approximationssatz von Weierstrass lässt sich eine stetige Funktion $ f$ durch Polynome approximieren. Zu beliebig gewähltem $ \varepsilon>0$ existiert ein Polynom $ q$ mit

$\displaystyle \max_{x\in[a,b]} \vert q(x)-f(x)\vert \le \varepsilon \,. $

Schätzt man den Quadraturfehler mit der Dreiecksungleichung ab,

$\displaystyle \vert s_nf - \textstyle{\int} f\vert \le \vert s_nf - \textstyle{\int} q\vert + \vert\textstyle{\int} (q-f)\vert \,, $

so ist der zweite Term auf der rechten Seite $ \le (b-a)\varepsilon$ nach Wahl von $ q$. Für $ 2n>$Grad$ \,q =n_\varepsilon$ kann aufgrund der Exaktheit der Gauß-Formel im ersten Term $ \int q$ durch $ s_n q$ ersetzt werden. Wegen $ w_i^n\ge0$ und $ \sum w_i^n = b-a$ folgt dann

$\displaystyle \vert s_n(f-q)\vert \le \sum_i \vert w_i^n\vert \vert f(x_i)-q(x_i)\vert \le (b-a) \varepsilon \,. $

Der Fehler ist also $ \le 2(b-a)\varepsilon$ und strebt damit für $ n\to\infty$ gegen 0.

(Autoren: Höllig/Hörner )
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  automatisch erstellt am 12.8.2011