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Mathematik-Online-Kurs: Numerische Methoden der Analysis - Approximation - Interpolation mit Polynomen

Hermite-Interpolation

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Für eine glatte Funktion $ f$ gibt es zu $ n+1$ Punkten $ x_0,\ldots,x_n$ genau ein Polynom $ p$ vom Grad $ \le n$ mit

$\displaystyle p^{(j)}(x_k) = f^{(j)}(x_k),\quad 0\le j<m_k \,, $

wobei $ m_k$ die Vielfachheit des Punktes $ x_k$ bezeichnet. Tritt also ein Punkt mehrfach auf, so werden nicht nur der Funktionswert, sondern auch Ableitungen interpoliert.

\includegraphics[width=.6\moimagesize]{interpolation_diff_Bild}

Im Schaubild werden Vielfachheiten durch eng nebeneinander liegende Markierungen auf der x-Achse oder zusätzliche Kreise um die Interpolationspunkte angedeutet.

(Autor: Höllig)

Die Interpolationsbedingungen entsprechen $ n+1$ linearen Gleichungen für die $ n+1$ Koeffizienten des Polynoms. Daher impliziert die Eindeutigkeit von Lösungen deren Existenz. Es genügt also zu zeigen, dass

$\displaystyle p^{(j)}(x_k) = 0,\quad 0\le j < m_k, \implies p = 0 \,, $

d.h. das homogene Interpolationsproblem hat nur die triviale Lösung. Dies ist offensichtlich, denn ein nicht-triviales Polynom $ p$ kann inklusive Vielfachheiten höchstens $ n$ Nullstellen haben.

(Autor: Höllig)

Als Beispiel werden die Daten

x 1 2 2 2 4 4
f 3 1 0 2 2 1
betrachtet. Dabei wird die Konvention verwendet, dass

$\displaystyle f_k = p^{(j)}(x_k) \,, $

falls $ j$ Punkte $ x_i$ mit $ i<k$ gleich $ x_k$ sind.

Die Interpolationsbedingungen, entsprechend den Vielfachheiten $ m_k$, sind

$\displaystyle x_0=1$ $\displaystyle :$ $\displaystyle p(1)=3,$  
$\displaystyle x_1=x_2=x_3=2$ $\displaystyle :$ $\displaystyle p(2)=1,\,p^\prime(2)=0,\,p^{\prime\prime}(2)=2$  
$\displaystyle x_4=x_5=4$ $\displaystyle :$ $\displaystyle p(4)=2,\,p^\prime(4)=1 \,.$  

\includegraphics[width=0.5\linewidth]{Bild_approx_funktion.eps}

Die Abbildung veranschaulicht die Interpolationsbedingungen und zeigt das interpolierende Polynom

$\displaystyle p(x) = \sum_{k=0}^5 a_k x^k \,. $

Erste Ableitungen werden dabei üblicherweise durch Tangenten und zweite Ableitungen durch Kreisbögen symbolisiert.

(Autoren: Höllig/Pfeil)
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  automatisch erstellt am 12.8.2011