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Mathematik-Online-Kurs: Numerische Methoden der Analysis - Integration - Monte-Carlo-Verfahren

Konvergenz der Monte-Carlo-Integration

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Für eine gleichverteilte Folge $ x_0,x_1,\ldots$ in $ [0,1)$ gilt

$\displaystyle \lim_{\ell\to\infty} \frac{1}{\ell} \sum_{k<\ell} f(x_k) = \int_0^1 f $

für jede Riemann-integrierbare Funktion $ f$ . Das entsprechende Approximationsverfahren wird aufgrund der quasi zufälligen Wahl der Punkte $ x_k$ als Monte-Carlo-Integration bezeichnet.

(Autoren: Höllig/Pfeil )

Zunächst wird die Konvergenz für die charakteristische Funktion $ f = \chi_{[a,b)}$ gezeigt. In diesem Fall ist

$\displaystyle s_\ell f = \frac{1}{\ell}\, \sum_{k<\ell} f(x_k) = \frac{1}{\ell} \char93 \{x_k\in[a,b):\ k<\ell\} \,. $

Nach Definition der Gleichverteiltheit strebt also $ s_\ell f$ gegen $ (b-a) = \int_0^1 f$ , wie behauptet. Aus der Linearität des Mittelwerts und des Integrals erhält man somit die Konvergenz für beliebige Treppenfunktionen.

Eine Riemann-integrierbare Funktion $ f$ kann durch Treppenfunktionen approximiert werden. Genauer existieren für jedes $ \varepsilon>0$ Treppenfunktionen $ f_\pm$ mit

$\displaystyle f^-\le f\le f^+,\quad -\varepsilon + \int f \le \int f^- \le \int f^+ \le \int f + \varepsilon \,. $

Durch Grenzwertbildung in der Ungleichung

$\displaystyle \frac{1}{\ell} \sum_{k=0}^{\ell-1} f^-(x_k) \le s_\ell f \le \frac{1}{\ell} \sum_{k=0}^{\ell-1} f^+(x_k) $

folgt mit Hilfe der bereits bewiesenen Konvergenz für Treppenfunktionen

$\displaystyle \int f^- \le \liminf_{\ell\to\infty} s_\ell f \le \limsup_{\ell\to\infty} s_\ell f \le \int f^+ \,. $

Damit liegt sowohl der Limes inferior als auch der Limes superior in dem beliebig klein wählbaren Intervall $ [\int f-\varepsilon,\int f+\varepsilon]$ . Die Folge der Mittelwerte $ s_\ell f$ konvergiert also gegen das Integral.

(Autoren: Höllig/Pfeil )
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  automatisch erstellt am 12.8.2011