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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Klassische Matrixgruppen - Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe

Die Algebra Mat(n,K)

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Eine Algebra über einem Körper $ K$ ist ein $ K$-Vektorraum $ \cal A$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $ \cal A \times \cal A \rightarrow \cal A$ mit $ (x,y) \mapsto xy$.
Biliniarität bedeutet in diesem Fall, dass

$\displaystyle (\alpha x)y = \alpha (xy) = x (\alpha y)$

$\displaystyle (x+y)z = xz + yz, \hspace*{0.5cm} x(y+z) xy + xz \hspace*{0.5cm}\forall \hspace*{0.1cm} x,y,z \in {\cal A}.$


Diese Abbildung wird als Produkt von $ x$ und $ y$ bezeichnet.

Eine Algebra heisst zusätzlich assoziativ, falls

$\displaystyle x(yz) = (xy)z \hspace*{0.5cm}\forall \hspace*{0.1cm} x,y,z \in {\cal A}.$

(Autor: Borgart)
Das Standart-Beispiel einer assoziativen Algebra ist der $ K$-Vektorraum der n$ \times$n-Matrizen $ Mat(n,K)$ mit Koeffizienten aus $ K$ zusammen mit komponenterweiser Skalarmultiplikation

$\displaystyle \alpha(x_{ij}) = (\alpha x_{ij}),$

Addition

$\displaystyle (x_{ij}) + (y_{ij}) = (x_{ij} + y_{ij})$

und der Matrixmultiplikation

$\displaystyle (x_{ij})(y_{ij}) = \sum_{k=1}^n x_{ik} \hspace*{0.1cm} y_{kj}.$

Das Einselement bzgl. der Matrixmultiplikation ist die Einheitsmatrix $ E_{n} = (\delta_{ij})$ mit

$\displaystyle \delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{r@{\quad:\quad}l} 1 & i = j, \\ 0 & i \not= j \end{array} \right.$

(Autor: Borgart)
Sei $ \cal A$ eine Algebra mit Einselement $ e$. Ein invertierbares Element von $ A$ wird als Einheit bezeichnet.

Die Menge aller Einheiten von $ \cal A$ bildet eine Gruppe bzgl. der in $ \cal A$ angegebenen Multiplikation, die sogenannte Einheitengruppe.

(Autor: Borgart)
Das neutrale Element $ e$ liegt in $ \cal A$, da $ e \cdot e = e$. Ist $ x \in \cal A$, so ist wegen

$\displaystyle x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e$

auch $ x^{-1} \in \cal A$.

(Autor: Borgart)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008