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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Darstellungen von Gruppen - Grundlagen zur Darstellungstheorie

Tensorprodukt


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Definiert man $ T$ als :

$\displaystyle T:=\left\{\sum_{i,j}c_{ij}t_{ij} \ \Big \vert \ c_{ij} \in K \right\}
$

mit Symbolen $ t_{ij}$ für $ i\in 1,\dots,n$ und $ j \in 1,\ldots,m$ dann wird $ T$ zu einem $ mn$-dimensionalen Vektorraum über $ K$.

Seien $ V$ und $ W$ Vektorräume mit Basen $ (v_1,\ldots,v_n)$ bzw. $ (w_1,\ldots,w_m)$, dann sei zu $ v=\sum_{i=1}^na_iv_i$ und $ w=\sum_{j=1}^mb_jw_j$ die Verknüpfung $ \otimes$ definiert durch:

$\displaystyle v\otimes w=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m a_ib_jt_{ij} \,.
$

Mit dieser Verknüpfung ist dann $ \otimes$: $ V\times W \longrightarrow
T$ mit $ (v,w) \longmapsto v\otimes w$ bilinear und es gilt:

Man nennt $ T$ zusammen mit der Abbildung $ (v,w) \mapsto v \otimes w$ das Tensorprodukt von $ V$ und $ W$ und schreibt $ T=V\otimes W$. $ v
\otimes w$ nennt man das Tensorprodukt von $ v$ und $ w$.

Das Tensorprodukt ist durch diese Definition bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.


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  automatisch erstellt am 14.11.2008