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Mathematik-Online-Kurs: Numerik - Numerische Integration

Riemannsche Zeta-Funktion

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Die Riemannsche Zeta-Funktion

$\displaystyle \zeta(z) = \sum_{n = 1}^\infty n^{-z},\quad \operatorname{Re} z > 1, $

kann durch die Integraldarstellung

$\displaystyle \zeta(z) = \frac{2^{z-1}}{z-1} - 2^z \int_0^\infty \frac{\sin(z \arctan t)}{(1+t^2)^{z/2}(\exp(\pi t)+1)}dt $

auf $ \mathbb{C} \backslash \{1\}$ fortgesetzt werden. Nach einer berühmten Vermutung Riemanns sollen alle Nullstellen von $ \zeta$ auf der Geraden

$\displaystyle z = \frac{1}{2} + \mathrm{i}t,\quad t \in \mathbb{R}, $

liegen.
\includegraphics[width=.45\linewidth]{zeta_funktion1.eps}          \includegraphics[width=.45\linewidth]{zeta_funktion2.eps}
Die Abbildungen illustrieren die Vermutung mit Hilfe numerisch berechneter Werte des Integrals. Am Graph von $ \vert\zeta\vert$ (links) erkennt man die ersten zehn Nullstellen. Entsprechend verläuft das rechts abgebildete Kurvenstück zehnmal durch den Ursprung $ z = 0$.
(Autoren: Höllig/Kreitz)
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  automatisch erstellt am 9.9.2010