Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]
Mathematik-Online-Kurs: Numerik - Iterative Methoden

Relaxation

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Bei einem Iterationsverfahren kann man versuchen, die Konvergenz durch eine sogenannte Relaxation zu beschleunigen. Dazu wird in der Iterationsvorschrift

$\displaystyle x_{\ell+1}=f(x_\ell) $

ein zusätzlicher Parameter $ \omega$ eingeführt und das neue Folgenglied auf der durch $ x_\ell$ und $ f(x_\ell)$ verlaufenden Gerade gewählt:

$\displaystyle x_{\ell+1}=\omega f(x_\ell) +(1-\omega)x_\ell\,. $

Für $ \omega = 1$ erhält man das ursprüngliche Iterationsverfahren. Für $ \omega > 1$ spricht man von Überrelaxation und für $ \omega < 1 $ von Unterrelaxation.

(Autoren: Höllig/Hörner)
Berechnet man beim Gauß-Seidel-Verfahren die einzelnen Komponenten sukzessive, so kann man die Relaxation in jedem Teilschritt anwenden. Das so entstehende Verfahren heißt SOR (successive over-relaxation). Die Iterationsvorschrift hat die Form

$\displaystyle x_{\ell+1} = x_\ell + \omega D^{-1}(b-Lx_{\ell+1}-Dx_\ell-Rx_\ell)\,, $

wobei $ A=L+D+R$ die Aufteilung der Matrix in den linken, diagonalen und rechten Anteil ist.

Führt man zwei SOR-Schritte durch, wobei beim ersten Schritt die Komponenten in der Reihenfolge $ 1,2,\ldots,n$ und beim zweiten Schritt in der umgekehrten Reihenfolge berechnet werden, so erhält man das SSOR-Verfahren (symmetric SOR). Dabei ist nur die Behandlung der Reihenfolge der Unbekannten symmetrisch, jedoch die Iterationsmatrix im Allgemeinen nicht. Auch die Konvergenzrate wird dadurch im Allgemeinen nicht besser. Die Symmetrisierung wird in erster Linie bei der Vorkonditionierung des Konjugierten-Gradienten-Verfahrens verwendet.

(Autoren: Höllig/Hörner)
[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 9.9.2010