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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Matrizen

Lineare Abbildungen


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Sei $ \alpha: \mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4$ die durch

$\displaystyle \begin{array}{rclrcl}
(1, 2, -3, -2)^{{\operatorname t}} & \longm...
...operatorname t}} & \longmapsto & (0, 2, 3, -3)^{{\operatorname t}} \end{array} $

gegebene lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $ \alpha$
a)
bzgl.der kanonischen Basis $ e_1, e_2, e_3, e_4$,
b)
bzgl.der Basis $ b_1=(1,0,0,0)^{{\operatorname t}}$, $ b_2=(1,1,0,0)^{{\operatorname t}}$, $ b_3=(1,1,1,0)^{{\operatorname t}}$, $ b_4=(1,1,1,1)^{{\operatorname t}}$.

(Aus: HM I 1992-2001)

Sei

$\displaystyle b_1=(1, -2, -2)^{{\operatorname t}}, \quad b_2=(0, 1, 1)^{{\opera...
...}, \quad
c_1=(3, 0)^{{\operatorname t}}, \quad c_2=(1, 1)^{{\operatorname t}}, $

und sei $ \alpha: \mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ die durch $ b_1\longmapsto c_1$, $ b_2\longmapsto c_2$ und $ b_3\longmapsto c_1+c_2$ gegebene lineare Abbildung. $ E=\{e_1, e_2, e_3\}$ und $ \tilde{E}=\{\tilde{e}_1, \tilde{e}_2\}$ seien die kanonischen Basen von $ \mathbb{R}^3$ bzw. $ \mathbb{R}^2$. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von $ \alpha$ bzgl.der Basen

a) $ B=\{b_1, b_2, b_3\}$ und $ C=\{c_1, c_2\}$,       b) $ B$ und $ \tilde{E}$,
c) $ E$ und $ C$,       d) $ E$ und $ \tilde{E}$.

(Autor: Christian Apprich)

Welche der folgenden Abbildungen zwischen Vektorräumen sind linear?

a)
$ \phi : \, \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ via $ (x, y) \mapsto (x, 0, y)$

b)
$ \psi : \, \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definiert durch $ x \mapsto x + a$ für $ a \in \mathbb{R}^3\setminus\{0\}$

c)
$ \delta : \, \mathbb{R}[x] \longrightarrow
\mathbb{R}[x]$ definiert durch $ p \mapsto p'$, wobei $ p'$ die Ableitung des Polynoms $ p$ bezeichnet

d)
eine Drehung um den Ursprung in der reellen Ebene

e)
$ \sigma : \, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3$ definiert durch $ x \mapsto ($cos$ x,$   sin$ x, x)$

f)
die komplexe Konjugation $ \mathbb{C} \longrightarrow
\mathbb{C}$ definiert durch $ z \mapsto \bar{z}$ ( $ \mathbb{C}$ wird als $ \mathbb{C}$-Vektorraum betrachtet).

Antwort:

  linear nicht linear
a)
b)
c)
d)
e)
f)

   
(Aus: Vorbereitungskurs LAAG)

siehe auch:


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  automatisch erstellt am 22.8.2008