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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Probeklausuren

Probeklausur 2

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Aufgabe 1:

Gegeben sie die Matrix

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{rr} 3&-2 \\ -\frac{3}{2}&5 \end{array} \right)$

Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_1$ und $ \lambda_2$ dieser Matrix und zu jedem Eigenwert einen normierten Eigenvektor mit positivem ersten Wert.

Antwort:

$ \lambda_1=$        
$ v_1=$ $ \frac{1}{\sqrt{5}}$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$  

$ \lambda_2=$        
$ v_2=$ $ \frac{1}{\sqrt{13}}$ $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$  

( $ \lambda_1 < \lambda_2$)

Aufgabe 2:

Entscheiden Sie, ob die folgenden Matrizen (gegebenenfalls komplex) diagonalisierbar sind. Geben Sie jeweils die Diagonalmatrix an. (Eigenwerte der Größe nach absteigend. Bei nicht diagonalisierbaren Matrizen keine Eingabe.)

$ \left( \begin{array}{rr} 1 &3\\ 2&-4 \end{array} \right)$: $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
+ i      + i
+ i      + i
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

$ \left( \begin{array}{rr} 1&5\\ -4&5 \end{array} \right)$: $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
+ i      + i
+ i      + i
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

$ \left( \begin{array}{rr} \frac 1 3 &\frac 1 3\\ -\frac 1 3&1 \end{array} \right)$: $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
+ i      + i
+ i      + i
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

Aufgabe 3:

Gegeben ist die Matrix $ A$ und der Vektor $ v_1$ mit

\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrr} 11&0&2\\ 0&25&0\\ 2&0&14 \end{array}\right) \end{displaymath}         

\begin{displaymath} v_1= \left( \begin{array}{r} 1\\ 0\\ 2 \end{array}\right) \end{displaymath}

$ A$ besitzt drei verschiedene Eigenwerte, wobei zu einem der Eigenvektor $ v_1$ gehört. Berechnen Sie je einen normierten Eigenvektor zu den beiden anderen Eigenwerten und geben Sie das in Linearfaktoren zerlegte charakteristische Polynom $ \chi_A$ der Matrix $ A$ an.

Antwort:

$ v_2=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

$ v_3= \frac{1}{\sqrt{5}}$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

(ganzahlige Einträge, erster von Null verschiedener Eintrag positiv)

$ \chi_A(\lambda)=($ $ -\lambda) ($ $ -\lambda) ($$ -\lambda)$

(Eigenwerte aufsteigend geordnet)

Aufgabe 4:
Im $ \mathbb{R}^2$ sind das Standardkoordinatensystem $ \mathbb{E}$ sowie das Koordinatensystem $ \mathbb{F}$ mit

$ \mathbb{F} = \left( \left( \begin{array}{r}5\\ -4 \end{array} \right) ; \left(... ...end{array} \right) , \left( \begin{array}{r}-2\\ 1 \end{array} \right) \right) $

gegeben. Berechnen Sie die Koordinatentransformation $ _{\mathbb{E}}K_{\mathbb{F}}$ und $ _{\mathbb{F}}K_{\mathbb{E}}$ :

Antwort:

$ _{\mathbb{E}}K_{\mathbb{F}}(v) =$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ v +$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

$ _{\mathbb{F}}K_{\mathbb{E}}(v) = $
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
$ v +$
$ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$

Aufgabe 5:
Gegeben sind die normierten Vektoren $ u,v,w \in \mathbb{R}^3$ und die Matrix $ A\in \mathbb{R}^{3x3}$ mit

\begin{displaymath}u=\left( \begin{array}{r} \frac 3 5\\ \frac 4 5\\ 0 \end{arr... ...rac{3}{13}&\frac{12}{13}\\ v_1&v_2&v_3 \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Bestimmen Sie $ v_1, v_2, v_3$, so dass $ u,v,w$ ein Rechtssystem bilden und berechnen Sie für diese Werte $ \mathrm{det}A$ und $ A^{-1}$.

Antwort:

$ v=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ /$
$ /$
$ /$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

$ \mathrm{det}(A)=$

$ A^{-1}=$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ /$     $ /$     $ /$
$ /$     $ /$     $ /$
     $ /$     $ /$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

(Brüche gekürzt mit positivem Nenner.)

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die erweiterte Matrixbeschreibung $ A_{\mathrm{erw}}$ der Quadrik

$\displaystyle Q: \left\{ x\in \mathbb{R}^3 \vert x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1x_3+4x_1+4x_3=0 \right\}$

Antwort:

$ A_{\mathrm{erw}}= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$    
Aufgabe 7:
Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik $ Q: \left\{ x\in \mathbb{R}^2 \vert x^{{\operatorname t}}Ax+2a^{{\operatorname t}}x+c=0 \right\}$ mit

$ A= \left( \begin{array}{rr} -1&0\\ 0&3 \end{array} \right)$          $ a= \left( \begin{array}{r} -2\\ -3 \end{array} \right)$          $ c=-1$

und geben Sie den Ursprung $ P$ des Koordinatensystems an in dem die Quadrik diese Form hat.

Antwort:

$ z_1^2$ + $ z_2^2=0$          $ P= \left(\rule{0pt}{2ex}\right.$ , $ \left.\rule{0pt}{2ex}\right)$
Aufgabe 8:
Berechnen Sie zur Quadrik $ Q: \left\{ x\in \mathbb{R}^3 \vert x^tAx+2a^tx+c=0 \right\}$ mit

$ A= \left( \begin{array}{rrr} 1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&2 \end{array} \right)$          $ a= \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right)$          $ c=1$

den Rang $ r=\mathrm{Rang}(A)$ , $ r_{\mathrm{erw}}=\mathrm{Rang}(A_{\mathrm{erw}})$ und geben Sie an um welchen Quadriktyp es sich handelt.

Antwort:

$ r=$          $ r_{\mathrm{erw}}=$

keine Angabe

kegelige Quadrik

Mittelpunktsquadrik

parabolische Quadrik

   
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  automatisch erstellt am 14.7.2008