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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Ebenen

Drei-Punkte-Form einer Ebene

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Für Punkte $ X$ auf einer Ebene durch drei Punkte $ P$ , $ Q$ , $ R$ , die ein echtes Dreieck bilden, verschwindet das Spatprodukt:

$\displaystyle [\overrightarrow{PX},\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}]=0\, . $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{drei_p_form}

Mit Hilfe von Determinanten lässt sich die Ebenengleichung auch in der Form

\begin{displaymath} \begin{array}{\vert cccc\vert c}p_1&q_1&r_1&x_1&\\ p_2&q_2&r_2&x_2&=0\\ p_3&q_3&r_3&x_3&\\ 1&1&1&1&\\ \end{array} \end{displaymath}

schreiben.
(Autoren: Höllig/Weiß )
Eine Ebene sei gegeben durch die Punkte $ P=(1,2,3)$ , $ Q=(3,2,3)$ und $ R=(2,3,4)$ .

Dann liegt $ X=(1,1,2)$ auf der Ebene, denn es gilt

$\displaystyle [\overrightarrow{PX},\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}] =... ...-1\\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 \\ -2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} = 0 $

Andererseits liegt $ X=(0,0,0)$ nicht auf der Ebene, denn es gilt

$\displaystyle [\overrightarrow{PX},\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}] =... ... , \begin{pmatrix}1\\ 1 \\ 1\\ \end{pmatrix} \right ] = 4 -6 = -2 \neq 0 $

(Autoren: Höllig/Weiß )
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  automatisch erstellt am 17.3.2011