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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Lineare Gleichungssysteme

Gauß-Transformation


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Folgende Operationen lassen die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems unverändert: Durch Kombination der letzten beiden Operationen ist auch die Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile eine zulässige Operation.

Mit Hilfe dieser sogenannten Gauß-Transformation lassen sich sukzessive Unbekannte eliminieren und ein lineares Gleichungssystem auf Dreiecksform transformieren und dann durch Rückwärtseinsetzen lösen.


Um das lineare Gleichungssystem

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcl}
&-& 2x_2 &+& 5x_3 &=& 7 \\
-8x_1 &-& 4x_2 && &=& -12 \\
4x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &=& 6
\end{array}\end{displaymath}

mit Gauß-Transformationen auf Dreiecksform zu bringen, werden zunächst die erste und die dritte Zeile vertauscht:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcl}
4x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &=& 6 \\
-8x_1 &-& 4x_2 && &=& -12 \\
&-& 2x_2 &+& 5x_3 &=& 7 \,.
\end{array}\end{displaymath}

Durch Addition der mit dem Faktor 2 multiplizierten ersten Gleichung zur zweiten Gleichung erhält man

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcl}
4x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &=& 6 \\
&& 2x_2 &+& 2x_3&=& 0 \\
&-& 2x_2 &+& 5x_3 &=& 7 \,.
\end{array}\end{displaymath}

Addition der zweiten Gleichung zur dritten Gleichung ergibt schließlich die Dreiecksform

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcrcrcl}
4x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &=& 6 \\
&& 2x_2 &+& 2x_3&=& 0 \\
&& && 7x_3 &=& 7 \,.
\end{array}\end{displaymath}

Durch Rückwärtseinsetzen können die Gleichungen nun sukzessive gelöst werden. Aus Gleichung 3 folgt

$\displaystyle x_3 = 1.
$

Eingesetzt in Gleichung 2 erhält man

$\displaystyle 2x_2 + 2 \cdot 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x_2 = -1.
$

Schließlich liefert die Substitution der berechneten Unbekannten in die erste Gleichung

$\displaystyle 4x_1 +3(-1)+1 = 6 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = (6 + 3 -1 )/4 = 2.
$

(Autor: J. Wipper)

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  automatisch erstellt am 23.10.2009