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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Lineare Algebra und Geometrie - Geraden und Ebenen

Zwei-Punkte-Form

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Die Punkte $ X$ auf einer Geraden durch zwei Punkte $ P\ne Q$ lassen sich in der Form

$\displaystyle \overrightarrow{PX} = t\overrightarrow{PQ}, \quad t\in\mathbb{R}\, , $

darstellen. Die Parameterwerte $ t\in[0,1]$ entsprechen dabei der Strecke $ \overline{PQ}$ .

\includegraphics[width=8cm]{a_zwei_punkte_form_bild}

Entsprechend gilt

$\displaystyle x_i = p_i + t(q_i-p_i),\quad i=1,2,3\, , $

für die Koordinaten des Ortsvektors $ \vec{x}$ .
Für $ t\in[0,1]$ teilt der Punkt $ X$ die Strecke $ \overline{PQ}$ bei der Zwei-Punkte-Form im Verhältnis $ t:(1-t)$ . Insbesondere entspricht der Mittelpunkt zwischen den Punkten $ P$ und $ Q$ dem Parameterwert $ t=1/2$ .

\includegraphics[width=12.4cm]{b_zwei_punkte_form_bild}

Eine Parametrisierung der abgebildeten Geraden ist

$\displaystyle g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 3\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c} 5-1\\ 1-3\end{array}\right),\quad t \in \mathbb{R} $

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009