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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Kombinatorik

Pascalsches Dreieck


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Die Binomialkoeffizienten

$\displaystyle \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!\,k!}
$

lassen sich mit Hilfe der Rekursion

$\displaystyle \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}
$

in einem Dreiecksschema, dem sogenannten Pascalschen Dreieck, berechnen. \begin{center}
\begin{tabular}{c\vert cccccccccccccc}
$\displaystyle \binom{0}...
...s$\ & & $\vdots$\ & & $\vdots$\ & & $\vdots$\ & \\
\end{tabular}
\end{center}

Die zu beweisende Identität

$\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!\,k!} =
\frac{n!}{(n-k+1)!\,(k-1)!} +
\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
$

ist nach Division durch $ n!$ und Multiplikation mit $ (n-k+1)!\,k!$ äquivalent zu

$\displaystyle n+1 = k + (n+1-k)\,
.
$

(Autoren: Höllig/Knesch)

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  automatisch erstellt am 23.10.2009