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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Gleichungen und Ungleichungen

Beispiele von Betragsungleichungen

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Beim Lösen von Betrags(un)gleichungen sind in der Regel Fallunterscheidungen notwendig. Dabei müssen die Fälle, dass das Argument größer oder gleich Null, bzw. kleiner Null ist separat betrachtet werden. Die Betragsungleichung

$\displaystyle -\vert x\vert \leq x-2 \ ; \ x \in \mathbb{R} $

kann rechnerisch folgendermaßen gelöst werden:

Fall 1: Ist $ x \geq 0$ dann lautet die Ungleichung

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} &-\vert x\vert &\leq &x-2\\ \Longleftri... ...\leq & -2\\ \Longleftrightarrow & x & \geq & 1 \,, \end{array}\end{displaymath}

d.h. im ersten Fall ($ x \geq 0$) ergibt sich also $ {L}_1=\{x \in \mathbb{R} \ : \ x \geq 1\}$ als Lösungsmenge.

Fall 2: Ist $ x <0 $ dann lautet die Ungleichung

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} &-\vert x\vert &\leq &x-2\\ \Longleftri... ...eq &x- 2\\ \Longleftrightarrow & 0 & \leq & -2 \,. \end{array}\end{displaymath}

Die letzte Ungleichung ist immer falsch. Im zweiten Fall ($ x <0 $) gibt es also keine Lösung, d.h. $ {L}_2=\emptyset$.

Insgesamt erhält man also als Lösungsmenge für die Ungleichung

$\displaystyle {L} =\mathcal{L}_1=\{x \in \mathbb{R} \ : \ x \geq 1\}=[1,\infty)\,.$

Diese Lösung kann auch graphisch bestimmt werden. Setzt man die linke Seite $ f(x)=-\vert x\vert$ und die rechte Seite $ g(x)=x-2$, dann erhält man die Schaubilder

\includegraphics{bild06}

Das rot eingezeichnete Intervall $ [1,\infty)$ ist der Bereich in dem die (grüne) linke Seite $ f(x)=-\vert x\vert$ kleiner oder gleich der (blauen) rechten Seite $ g(x)=x-2$ ist. Das rote Intervall $ [1,\infty)$ beschreibt also die Lösung der Ungleichung $ f(x) \leq g(x)$.

(Autor: Vorkurs Mathematik)
Die Betragsungleichung

$\displaystyle \vert 2x^2-3\vert\leq x+1 \,. $

wird zunächst graphisch gelöst.

\includegraphics{bild07}

Die grau gestrichelte Kurve zeigt den Bereich von $ 2x^2-3$, der unterhalb der $ x$-Achse verläuft. Durch das bilden des Betrags wird dieser negative Teil nach oben gespiegelt. Die grüne Kurve zeigt also die linke Seite $ \vert 2x^2-3\vert$ der Ungleichung. Die blaue Kurve zeigt das Schaubild der rechten Seite $ x+1$. Lösungen der Ungleichung sind alle $ x$-Werte in denen die grüne Kurve unterhalb der blauen verläuft, sowie die $ x$-Werte für die sich die Schaubilder schneiden. Das Lösungsintervall ist rot eingezeichnet.

Für die rechnerische Lösung unterscheidet man zwei Fälle.

Fall 1: $ 2x^2-3 \geq 0$. Dann folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} &\vert 2x^2-3\vert&\leq &x+1\\ [1mm] \Lo... ...& x+1\\ [1mm] \Longleftrightarrow&2x^2-x-4 &\leq& 0 \end{array}\end{displaymath}

Die Nullstellen der linken Seite, d.h. die $ x$-Werte für die $ 2x^2-3=x+1$ ist, sind

$\displaystyle x_1=\frac{1-\sqrt{33}}{4}\approx -1.19 \textrm{ \ \ und \ \ } x_2=\frac{1+\sqrt{33}}{4}\approx 1.69\,.$

Die Lösungen der Ungleichung im Fall 1 sind also die $ x$-Werte mit $ x_1 \leq x \leq x_2$ für die gleichzeitig noch $ 2x^2-3 \geq 0$ gilt. Die Nullstellen von $ 2x^2-3$ sind

$\displaystyle x_3=- \sqrt{3/2}\ \approx -1.22 \textrm{ \ \ und \ \ } x_4=\sqrt{3/2}\ \approx 1.22 \,.$

Damit ist $ 2x^2-3 \geq 0$ wenn $ x\leq x_3$ oder $ x \geq x_4$ gilt. Wegen

$\displaystyle x_3 < x_1 < x_4 < x_2 $

ist das Intervall $ {L}_1=[x_4,x_2]$ die Lösungsmenge im Fall 1.

\includegraphics{bild08}

Fall 2: $ 2x^2-3 < 0$. Dann folgt

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} &\vert 2x^2-3\vert&\leq &x+1\\ [1mm] \Lo... ... x+1\\ [1mm] \Longleftrightarrow&-2x^2-x+2 &\leq& 0 \end{array}\end{displaymath}

Die Nullstellen der linken Seite sind

$\displaystyle x_5=\frac{-1-\sqrt{17}}{4} \ \approx -1.28 \textrm{ \ \ und \ \ } x_6=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\ \approx 0.78\,.$

Die Lösungen im zweiten Fall sind also die $ x$-Werte mit $ x\leq x_5$ oder $ x \geq x_6$ für die gleichzeitig $ 2x^2-3 < 0$, d.h. $ -2x^2+3 >0$ gilt. Dies ist für

$\displaystyle x_3=-\sqrt{3/2} \ <\ x\ < \ \sqrt{3/2}=x_4$

der Fall. Die Lösungsmenge im zweiten Fall ist also durch das Intervall $ {L}_2=[x_6,x_4)$ beschrieben.

\includegraphics{bild10}

Insgesamt ergibt sich als Lösungsmenge für die Ungleichung

$\displaystyle {L}={L}_1 \cup {L}_2=[x_4,x_2] \cup [x_6,x_4)=%[x_6,x_4) \cup [x_4,x_2] = [x_6,x_2] =\left[ \frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{1+\sqrt{33}}{4} \right]\,.$

(Autor: Vorkurs Mathematik)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009