Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik-Grundlagen-Komplexe Zahlen-Eigenschaften des Betrags komplexer Zahlen

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	Eigenschaften des Betrags komplexer Zahlen

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Der Betrag einer komplexen Zahl $z=x+\mathrm{i}y$ ist als

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar z}$

definiert. Für $z\in\mathbb{R}$ ist diese Definition konsistent mit der Definition der Betragsfunktion für reelle Zahlen und besitzt analoge Eigenschaften.

Positivität:

$\displaystyle \vert z\vert\geq 0,\quad \vert z\vert = 0 \Longleftrightarrow z = 0$
Multiplikativität:

$\displaystyle \vert z_1 z_2\vert = \vert z_1\vert\,\vert z_2\vert,\quad \vert z_1/z_2\vert = \vert z_1\vert/\vert z_2\vert,\, z_2\ne0$
Dreiecksungleichung:

$\displaystyle \big\vert\vert z_1\vert-\vert z_2\vert\big\vert \leq \vert z_1+z_2\vert \leq \vert z_1\vert+\vert z_2\vert$