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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Grundlagen - Aufgaben und Test

Aufgaben

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Überprüfen Sie sowohl durch Umformung, als auch mit Hilfe einer Wahrheitswerttabelle, ob die Ausdrücke Tautologien sind.
(Autoren: Hörner/Lesky)
Die Platzhalter $ \diamondsuit,\,\square$ stehen jeweils für eine der logischen Operatoren aus der Menge $ \{\land,\lor,\Rightarrow\}$. In welchen Fällen gilt dann

$\displaystyle A\,\diamondsuit\,(B\,\square\, C) \Leftrightarrow (A\,\diamondsuit\,B)\,\square\,(A\,\diamondsuit\,C) \ ?$

(Autor: Joachim Wipper)
Vereinfachen Sie die folgende Schaltung:

\includegraphics[width=.5\linewidth]{V005_bild}
(Autor: Jörg Hörner)
Gegeben sind die Mengen $ A,B\neq \emptyset$, eine Abbildung $ f:A\rightarrow B$ sowie die Teilmengen $ U,V\subset A$ und $ X,Y\subset B$. Zeigen bzw. widerlegen Sie mit Hilfe eines geeigneten Gegenbeispiels die folgenden Beziehungen:
a)     $ f(U\cup V)=f(U)\cup f(V)$          b)     $ f(U\cap V)=f(U)\cap f(V)$
c)     $ f^{-1}(X\cup Y)=f^{-1}(X)\cup f^{-1}(Y)$          d)     $ f^{-1}(X\cap Y)=f^{-1}(X)\cap f^{-1}(Y)$
(Autor: Joachim Wipper)
Drücken Sie die folgenden Aussagen über eine Abbildung $ f: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ in formaler Schreibweise aus:

a) $ f$ ist nicht surjektiv  b) $ f$ ist nicht injektiv
c) $ f$ ist nicht bijektiv  d) $ f$ ist weder surjektiv noch injektiv
(Autor: Christian Apprich)
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für $ n\in\mathbb{N}$ :


a)      $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $           b)      $ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1) }=\frac{n}{n+1}$

(Aus: HM I WS 1997/1998)
Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion für $ n\in\mathbb{N}$:
a)
$ a_n=n^3 + 5n$ ist durch $ 6$ teilbar.
b)
$ b_n=\displaystyle{\frac{n}{3} + \frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}}$ ist eine natürliche Zahl.

(Autoren: Boßle/Wipper)
Auf einer Party treffen sich 25 Personen. Wie viele Hände werden geschüttelt, wenn jeder Gast jedem anderen die Hand gibt.
(Aus: Vorkurs Mathematik)
Beweisen Sie:
a)     $ {\displaystyle{\sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} m+k\\ k \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} m+n+1\\ n \end{array} \right)}}$          b)     $ {\displaystyle{\sum_{\ell=1}^n \left(\begin{array}{c} n+k-\ell \\ k \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} n+k\\ k+1 \end{array} \right)}}$
Stellen Sie die Ergebnisse im Pascalschen Dreieck dar.
(Autor: Klaus Höllig)
Wie viele Möglichkeiten gibt es, beim Pokerspiel mit 32 Karten (8 Werte in 4 Farben) ein Full-House (drei gleiche Werte und zwei gleiche Werte) zu erhalten?
\includegraphics{fullhouse}
Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, dass sich das abgebildete Blatt durch Tausch von zwei Karten auf einen Poker (vier gleiche Werte) verbessert?
(Autoren: Höllig/Hörner)
Geben Sie für folgende komplexe Zahlen eine Darstellung der Form $ a+{\rm {i}}\,b$ mit $ a,b\in\mathbb{R}$ an:
a)      $ {\displaystyle{z = \frac{2-{\rm {i}}}{1+{\rm {i}}}}}$           b)      $ {\displaystyle{z = \frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}\,{\rm {i}}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}\,{\rm {i}}}}}$           c)      $ {\displaystyle{z = \frac{(2+{\rm {i}})(3-2{\rm {i}})(1+2{\rm {i}})}{(1-{\rm {i}})^2}}}$
d)      $ z = (1-2{\rm {i}})^4$           e)      $ z = \sqrt[3]{\,\rm {i}}$           f)      $ {\displaystyle{z = \frac{\left[{\textstyle{2(\cos \frac{\pi}{12}+{\rm {i}}\sin... ...eft[{\textstyle{4(\cos \frac{\pi}{4}+{\rm {i}}\sin \frac{\pi}{4})}}\right]^3}}}$

(Aus: HM I 1992-1998)
Bestimmen Sie folgende Teilmengen von $ \mathbb{C}$ und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene:

a) $ \{z\in\mathbb{C}\mid \vert z-{\mathrm{i}}\vert < 2\}$       b) $ \{z\in\mathbb{C}\mid {\mathrm{Re}}\,(z) \cdot {\mathrm{Im}}\,(z) \geq 1\}$
c) $ \{z\in\mathbb{C}\mid z+\bar{z} -2 \leq -{\mathrm{i}}(z-\bar{z}) \leq z+\bar{z}+2\}$       d) $ \{z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}\mid {\mathrm{Re}}\,(\frac{1}{z}) \geq 1\}$
e) $ \{z\in\mathbb{C}\mid \vert z\vert \leq \arg\,(z)\}$       f) $ \{z\in\mathbb{C}\mid \vert z\vert < \vert z+3\vert\}$
g) $ \{z\in\mathbb{C}\mid 1 < \vert z-{\mathrm{i}}\vert < 2 \, \wedge \, \vert\arg(z) -\frac{\pi}{2}\vert\leq \frac{\pi}{4} \}$   

(Aus: HM I WS 97/98)
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  automatisch erstellt am 23.10.2009