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Mathematik-Online-Kurs: Vorkurs Mathematik - Analysis - Reihen

Harmonische Reihe


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Die harmonische Reihe:

$\displaystyle s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots =
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\,,
$

divergiert bzw. hat den uneigentlichen Grenzwert $ s = \infty$.

Allgemeiner ist die Reihe

$\displaystyle s_{\alpha} = \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-\alpha}
$

für $ \alpha \leq 1$ divergent und für $ \alpha > 1$ konvergent. Einige spezielle Werte sind
$\displaystyle s_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \hdots = \dfrac{\pi^2}{6}\,,$  
$\displaystyle s_4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \hdots = \dfrac{\pi^4}{90}\,,$  
$\displaystyle s_6$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-6} = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \hdots= \dfrac{\pi^6}{945}\,.$  

(Autoren: App/Höllig )

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  automatisch erstellt am 23.10.2009