Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]

Mathematik-Online-Test:

Kombinatorik, komplexe Zahlen, Test 2


Aufgabe 1:
In der komplexen Zahlenebene wird durch die Zahlen $ 1,z_1,\ldots,z_4$ ein Fünfeck definiert.
\includegraphics[width=.5\linewidth]{bild.eps}
Bestimmen Sie die Polardarstellung der komplexen Zahl $ w$ und das Produkt der Zahlen $ z_1$ bis $ z_4$ .

Antwort:

$ w=$ $ \cdot$ $ \exp\Big($ / $ \pi
\mathrm{i}\Big)$
Angabe des Exponenten in Form eines vollständig gekürzten positiven Bruches.

$ z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 \cdot z_4 = $ $ +$ $ \mathrm{i}$


Aufgabe 2:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 9 Personen in 3 Dreiergruppen einzuteilen?

Antwort:     

Wie viele sind es, wenn zwei bestimmte Personen nicht in der gleichen Gruppe sein dürfen?

Antwort:     


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie die Polar- und Koordinatendarstellung folgender Ausdrücke.
a) $ \overline{1+\mathrm{i}}$         b) $ \displaystyle{\frac{(1+\mathrm{i})^5}{(1-\mathrm{i})^3}}$
c) $ \displaystyle{2\sqrt{2}\mathrm{e}^{3\pi\mathrm{i}/4}+(3-\mathrm{i})}$         d) $ \displaystyle{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2\mathrm{i}}\right)^3}$
Antwort:
a)
$ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
b)
$ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
c)
$ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
d)
$ +$ $ \mathrm{i}$ $ =$ $ \Big($ $ \Big)^{1/2} \cdot \exp\Big($ $ /$ $ \pi\mathrm{i}\Big)$
(alle Brüche vollständig gekürzt, $ \varphi\in[0,2\pi)$ . Verwenden Sie 0/1 zur Darstellung der 0)
Aufgabe 4:
Geben Sie das Produkt aller Lösungen $ z_k\in \mathbb{C}$ folgender Gleichungen an:
a)
$ (z-\mathrm{i})^3 = -\mathrm{i}$
b)
$ z\bar z - 5z = -10\mathrm{i}$

Antwort: Produkt aller Lösungen:

a)
$ +$ $ \mathrm{i}$
b)
$ +$ $ \mathrm{i}$

Aufgabe 5:
Beschreiben Sie
a)
die Gerade durch 1 und $ \mathrm{i}$
b)
den Kreis um $ 4+4\mathrm{i}$ mit Radius $ 2\sqrt{2}$
jeweils durch eine Gleichung der Form $ \vert z\vert = s\vert z-a\vert$ .

Antwort:

a)
$ s=$ ,         $ a=$ $ +$ $ \mathrm{i}$
b)
$ s=$ ,         $ a=$ $ +$ $ \mathrm{i}$

   

(Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von J. Wipper) automatisch erstellt am 5.10.2004