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Mathematik-Online-Test:

Algebra, Test 2


Aufgabe 1:

Tragen Sie in die vorgesehenen Kästchen entweder die gesuchte Zahl ein oder bei Fragen, die mit ja oder nein zu beantworten sind, eine 1 für ja und eine 0 für nein.

Gruppe $ G$ $ \vert G/[G,G]\vert$ Ist $ G$ auflösbar ? $ \vert Z(G)\vert$ Hat $ G$ normale 2 - Sylowgruppen
$ A_4 $
$ S_5 $
$ SL(2,5) $


Aufgabe 2:
Sei $ K$ ein Körper, $ R \neq 0$ ein kommutativer Ring, $ L/\mathbb{Q}$ eine Galois - Erweiterung mit Galoisgruppe $ G .$ $ Q_8$ bezeichnet die Quaternionengruppe der Ordnung $ 8.$ $ p$ und $ q$ seien verschiedene Primzahlen. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?
    k.A. wahr falsch
(1) In $ K[x]$ sind irreduzible Elemente auch Primelemente.
(2) Ist $ R$ euklidisch, dann auch $ R[x] .$
(3) $ R$ besitzt maximale Ideale.
(4) $ (\mathbb{Q},+) $ besitzt maximale Untergruppen.
(5) Jeder endlich erzeugte $ K[x]$ - Modul ist noethersch.
(6) $ K \times K$ ist ein Hauptidealbereich.
(7) Ist $ \vert G\vert = p^2q^3$, dann gibt es einen Zwischenkörper $ Z$ mit $ \vert Z: \mathbb{Q}\vert = q^3 .$
(8) Ist $ G \cong Q_8$, dann sind alle Zwischenkörper von $ L/\mathbb{Q}$ normal über $ \mathbb{Q}
.$
(9) Sind alle Zwischenkörper von $ L/\mathbb{Q}$ normal und ist $ \vert L:\mathbb{Q}\vert
= 8 $, dann ist $ G \cong Q_8 .$
(10) Für jeden Winkel $ \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ ist die Dreiteilung mit Zirkel und Lineal unmöglich.

Aufgabe 3:

Die Zeilen der Matrix

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rrrr}
3 & 3& -6&3\\
0&4&-3&2\\
3&7&-9&5\\
-3&3&-6&3
\end{array}\right)
\end{displaymath}

spannen eine Untergruppe $ L$ von $ \mathbb{Z}^4$ auf.
a)
Bestimmen Sie die Elementarteiler von $ \mathbb{Z}^4/L$ . Tragen Sie diese positiv in aufsteigender Größe ein.

b)
Schreiben Sie Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ als ein direktes Produkt von nicht-trivialen Gruppen von Primzahlpotenzordnung (in aufsteigender Größe).
$ \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times
\mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times
\mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z}$
c)
Welches ist die größte Ordnung die ein Torsionselement in $ \mathbb{Z}^4/L$ hat?
d)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl von $ \mathbb{Z}^4/L .$
e)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl einer $ 2$ - Sylowgruppe von Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ .
f)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl einer $ 3$ - Sylowgruppe von Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ .


Aufgabe 4:
Es sei $ f \in \mathbb{Z}[x]$, $ L$ der Zerfällungskörper von $ f$ und $ G=Gal(L/\mathbb{Q})$.

Markieren Sie das richtige Kästchen oder tragen Sie die gesuchte Zahl ein.

Polynom $ f \in \mathbb{Q}[x]$ Ist $ f$ irreduzibel in $ \mathbb{Q}[x]$? $ \vert G\vert$ Ist die Gleichung $ f=0$ durch Radikale lösbar?
$ x^6 -4x^4-7x^2 +15 $ ja nein -- ja nein
$ x^4+1 $ ja nein ja nein
$ x^5-9x+3$ ja nein ja nein

   

  automatisch erstellt am 11.12.2007