Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche] Englische Flagge

Mathematik-Online-Test:

Vektorrechnung, Test 1


Aufgabe 1:
Im durch die Einheitsvektoren des $ \mathbb{R}^3$ aufgespannten kartesischen Koordinatensystem besitzt der Punkt $ P$ die Koordinaten $ (\sqrt{6},-\sqrt{6},2)$ . Bestimmen Sie die Kugel- und Zylinderkoordinaten von $ P$ . Welche kartesischen Koordinaten besitzt der Punkt $ P$ nach einer Rechtsdrehung des Koordinatensystems um die $ x$ -Achse mit dem Winkel $ \pi/3$ ?

Antwort:
Kugelkoordinaten von $ P$ : $ r=$ ,      $ \varphi=$ $ \pi/$ ,      $ \vartheta=\pi/$
Zylinderkoordinaten von $ P$ : $ \varrho=\big($ $ \big)^{1/2}$ ,     $ \varphi=$ $ \pi/$ ,     $ z=$
Kartesische Koordinaten nach Rotation: $ P'=\Big(
$ ,,$ \Big)$

(gerundet auf vier Nachkommastellen)


Aufgabe 2:
$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ seien Vektoren im $ \mathbb{R}^3$ . Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Aus $ \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ folgt, dass mindestens einer der beiden Vektoren $ \vec{a}, \vec{b}$ der Nullvektor ist.

b)
Es gilt $ (\vec{a}-\vec{b})\times
(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times \vec{b})$ .
c)
Orthonormalbasen bilden stets Rechtssysteme.
d)
Es gilt $ \big\vert\vert\vec{a}-\vec{c}\vert-\vert\vec{b}-\vec{c}\vert\big\vert\leq
\vert\vec{a}-\vec{b}\vert$ .
e)
Ist der Vektor $ \vec{a}$ ein Vielfaches des Vektors $ \vec{b}$ , so gilt $ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0$ .

Antwort:
a) wahr      falsch
b) wahr falsch
c) wahr falsch
d) wahr falsch
e) wahr falsch


Aufgabe 3:
Zeigen Sie, dass die Vektoren

$\displaystyle \vec{u}= \begin{pmatrix}6 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad
\vec{v}...
... 6 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad
\vec{w}= \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$

paarweise orthogonal sind. Bildet die orthogonale Basis ein Links- oder Rechtssystem?

Keine Angabe ,     Linkssystem ,      Rechtssystem .

Geben Sie die Normierungsfaktoren $ \vert\vec{u}\vert$ , $ \vert\vec{v}\vert$ , $ \vert\vec{w}\vert$ an und bestimmen Sie $ \alpha,\beta,\gamma\in \mathbb{R}$ , so dass gilt

$\displaystyle \frac{\alpha}{\vert\vec{u}\vert}\,\vec{u} +
\frac{\beta}{\vert\ve...
...{\vert\vec{w}\vert}\,\vec{w} =
\begin{pmatrix}14 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix} \; .
$

Antwort:

Normierungsfaktoren:
$ \vert\vec{u}\vert=$ ,      $ \vert\vec{v}\vert=$ ,      $ \vert\vec{w}\vert=$ .

Parameter:
$ \alpha=$ ,     $ \beta=$ ,     $ \gamma=$ .


Aufgabe 4:
Gegeben seien die Punkte $ P=(0,3,-2)$ , $ Q=(3,7,-1)$ und $ R=(1,-3,-1)$ , die Gerade $ g_1$ durch $ P$ und $ Q$ und die Gerade $ g_2$ durch $ R$ mit dem Richtungsvektor

$\displaystyle \vec{v}= \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; .
$

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $ P$ von der Geraden $ g_2$ , sowie den Abstand der Geraden $ g_1$ von der Geraden $ g_2$ .

Antwort:

Abstand von $ P$ zu $ g_2$ : .

Abstand von $ g_1$ zu $ g_2$ : .


Aufgabe 5:
Gegeben sei die Ebene

$\displaystyle E: \quad \vec{x}=\begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+
\alph...
... \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +
\beta \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \; .
$

a)
Bestimmen Sie die Gleichungsdarstellung der zu $ E$ parallelen Ebene $ F$ durch den Punkt $ A=(-4,2,2)$ .

b)
Welcher Punkt $ B$ der Ebene $ E$ besitzt den kleinsten Abstand zum Punkt $ A$ und wie groß ist dieser Abstand?

c)
Zeigen Sie, dass der Punkt $ C=(-3,0,4)$ in der Ebene $ F$ liegt und die Punkte $ A,B,C$ ein gleichschenkliges Dreieck bilden. Bestimmen Sie die Längen der Seiten, alle Innenwinkel und die Fläche des Dreiecks.

Antwort:

a)
$ F$ : $ 2x+$ $ y+$ $ z=$ .
b)
$ B=\Big($ , , $ \Big)$ , Abstand: .
c)
$ \big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ , $ \big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ , $ \big\vert\overrightarrow{CA}\big\vert^2=$ .
$ \sphericalangle (ABC)=\pi/$ , $ \sphericalangle (BCA)=\pi/$ , $ \sphericalangle (CAB)=\pi/$ .
Dreiecksfläche: /     (Angabe als vollständig gekürzter Bruch).

   

(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 13.4.2005