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Mathematik-Online-Test:

Vektorrechnung, Test 2


Dieser Test enthält Aufgaben (A) mit Varianten (V).

Angezeigt:  A1 V1   A2 V-   A3 V-   A4 V-   A5 V- 
Variantenauswahl: - - - -

Test mit ausgewählten Varianten .


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie für die Vektoren

$\displaystyle \vec{a}= \begin{pmatrix}1 \\ -3\\ 2 \end{pmatrix} \; , \quad
\vec...
...0 \end{pmatrix} \; , \quad
\vec{c}= \begin{pmatrix}2 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix} \;
$

a) $ \vec{a}\cdot\vec{b}$ ,         b) $ (-\vec{b})\times\vec{a}$ ,         c) $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}$ ,         d) $ [\vec{c},\vec{b},\vec{a}]$ .

Antwort:
a),         b) $ \big($ ,, $ \big)^\mathrm{t}$ ,        c) $ \big($ ,, $ \big)^\mathrm{t}$ ,        d)


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten

$\displaystyle A=(2,-1,2),\quad B=(-1,5,-1),\quad C=(0,1,2)$

alle Seitenlängen, den Winkel $ \sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ und den Flächeninhalt.

Antwort:
$ \big\vert\overrightarrow{AB}\big\vert^2=$ ,     $ \big\vert\overrightarrow{BC}\big\vert^2=$ ,     $ \big\vert\overrightarrow{AC}\big\vert^2=$ ,     $ \sphericalangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\pi/$ .
Quadrat der Dreiecksfläche: .


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für den Punkt $ P=(5,1,-3)$ , die Gerade

$\displaystyle g: \vec{x}=t\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right), \qquad
t\in\mathbb{R}, $

und die Ebene $ E: 2x_1 -x_2 +2x_3 = 3$ die Projektion von $ P$ auf $ g$ , den Abstand von $ P$ zu $ E$ und den Schnittpunkt von $ g$ und $ E$ .

Antwort:
Projektion:(,,) $ ^\mathrm{t}$
Abstand:
Schnittpunkt: (,,)

(auf drei Dezimalstellen gerundet.)


Aufgabe 4:
Im Parallelogramm $ ABCD$ bezeichne $ M$ den Mittelpunkt der Strecke $ \overline{BC}$ und $ S$ den Schnittpunkt der Strecke $ \overline{AM}$ mit der Diagonalen $ \overline{BD}$.

a)
In welchem Verhältnis teilt $ S$ die Diagonale $ \overline{BD}$?
b)
In welchem Verhältnis steht die Fläche des Parallelogramms $ ABCD$ zur Fläche des Dreiecks $ BMS$?

\includegraphics[width=.6\linewidth]{a1_bild.eps}

Antwort: (Angabe mit natürlichen Zahlen in vollständig gekürzter Form)

a)
Das Verhältnis $ \overline{BS} : \overline{SD}$ beträgt : .
b)
Das Verhältnis Fläche $ BMS$ : Fläche $ ABCD$ beträgt : .


Aufgabe 5:
Gegeben sei die Gerade

$\displaystyle g: \quad \vec{x}=
\left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) +
t \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
$

und der Punkt $ P=(2,-1,1)$ .
a)
Berechnen Sie den Abstand des Punktes $ P$ von der Geraden $ g$ .
b)
Ermitteln Sie die Gleichungsdarstellung der Ebene $ E$ , die durch die Punkte $ A=(0,1,1)$ , $ B=(1,2,2)$ und $ C=(1,0,1)$ aufgespannt wird.
c)
Sei $ F$ die durch die Gerade $ g$ und den Punkt $ P$ aufgespannte Ebene. Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen $ E$ und $ F$ ?
d)
Berechnen Sie das Volumen des von $ A$ , $ B$ , $ C$ und $ D=(-3,0,1)$ aufgespannten Spats.

Antwort:

a)
Quadrierter Abstand: .
b)
$ E$ : $ x+$ $ y+$ $ z=$ .
c)
Schnittwinkel: $ \pi$ /.
d)
Volumen: .


   

(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 19.5.2006