Mathematik-Online-Test: Analysis einer Veränderlichen

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	Analysis einer Veränderlichen - Test 8

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.

a)

Es gibt Funktionen, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend sind.

keine Angabe , wahr , falsch

b)

Ist

eine ungerade Funktion, dann ist $\vert f\vert$ eine gerade Funktion.

keine Angabe , wahr , falsch

c)

Ist $\vert f\vert$ eine gerade Funktion, dann ist

eine ungerade Funktion.

keine Angabe , wahr , falsch

d)

Sind $f: D\rightarrow\mathbb{R}$ , $g: D\rightarrow\mathbb{R}$ und $f\circ g$ auf

invertierbar, so gilt $(f \circ g)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$ .

keine Angabe , wahr , falsch

e)

Die Funktion $h(x)=\vert(x+1)^2-3\vert$ ist für

konvex.

keine Angabe , wahr , falsch

Aufgabe 2:
Werten Sie das komplexe Polynom

$\displaystyle p(z)=(-1-2\mathrm{i})z^4+(2-\mathrm{i})z^3+\mathrm{i} z^2+(1-\mathrm{i})$

mit dem Horner-Schema bei $z_0=-1+\mathrm{i}$ aus und geben Sie dabei alle Zwischenergebnisse an.

Antwort:

$\mathrm{i}$
$\mathrm{i}$
$\mathrm{i}$
$\mathrm{i}$
$\mathrm{i}$

Aufgabe 3:
Schätzen Sie durch polynomiale Interpolation den Funktionswert

mit Hilfe der Daten

$\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert c\vert c\vert c} x & -1 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 9 & 1 & 3 \end{array} \; . \end{displaymath}$

Antwort:

Interpolationspolynom: , geschätzter Funktionswert $f(-2)\approx p(-2)=$ .

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die reellen Partialbruchzerlegungen der rationalen Funktionen

$\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2}$ und $\displaystyle \qquad g(x)=\frac{8x^2-12x+12}{x(x^2-2x+2)} \; .$

Wie lautet die komplexe Partialbruchzerlegung von

Antwort:

Wählen Sie die geeignete Form der Partialbruchzerlegung von und geben Sie die fehlenden Koeffizienten an:

keine Angabe $\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2}}$

$\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x}}$ $\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}$

, , .
Geben Sie die nach aufsteigenden Imaginärteilen sortierten Nullstellen des Nenners von an:
$\mathrm{i}$ , $\mathrm{i}$ , $\mathrm{i}$ .
Reelle Partialbruchzerlegung von :

$\displaystyle g(x)=\frac{a}{x-z_2}+\frac{bx+c}{(x-z_1)(x-z_3)}$

mit , , .
Komplexe Partialbruchzerlegung von :

$\displaystyle g(x)=\frac{a}{x-z_1}+\frac{b}{x-z_2}+\frac{c}{x-z_3}$

mit $\mathrm{i}$ , $\mathrm{i}$ , $\mathrm{i}$ .

Aufgabe 5:
Lissajous-Figuren sind parametrisiert durch

$\displaystyle \begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1 \\... ...t-\delta_1) + \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\cos(\omega_2 t-\delta_2)$ mit $\displaystyle \; t\in [0,2\pi] \; .$

Ordnen Sie die folgenden Parametersätze den unten abgebildeten Lissajous-Figuren zu:

$\begin{displaymath} \begin{array}{c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ...box{\bf 4)} & 1 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 & \pi/2 & 0 % D \end{array}\end{displaymath}$

$\includegraphics[width=.7\linewidth]{lissajous.eps}$

Antwort: Geben Sie jeweils die Nummer des zugehörigen Parametersatzes an.

A: , B: , C: , D: .

(Konzipiert von Joachim Wipper)

automatisch erstellt am 26.6.2008

	keine Angabe		$\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^2}}$
	$\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x}}$		$\displaystyle{f(x)=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x}+\frac{c}{x^2}}$

Analysis einer Veränderlichen - Test 8