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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Test 2


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Es gibt Funktionen, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend sind.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

b)
Ist $ f$ eine ungerade Funktion, dann ist $ \vert f\vert$ eine gerade Funktion.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

c)
Ist $ \vert f\vert$ eine gerade Funktion, dann ist $ f$ eine ungerade Funktion.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

d)
Sind $ f: D\rightarrow\mathbb{R}$ , $ g:
D\rightarrow\mathbb{R}$ und $ f\circ g$ auf $ D$ invertierbar, so gilt $ (f \circ
g)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1}$ .

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

e)
Die Funktion $ h(x)=\vert(x+1)^2-3\vert$ ist für $ x>0$ konvex.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch


Aufgabe 2:
Werten Sie das komplexe Polynom

$\displaystyle p(z)=(-1-2\mathrm{i})z^4+(2-\mathrm{i})z^3+\mathrm{i} z^2+(1-\mathrm{i}) $

mit dem Horner-Schema bei $ z_0=-1+\mathrm{i}$ aus und geben Sie dabei alle Zwischenergebnisse an.

Antwort:


Aufgabe 3:
Schätzen Sie durch polynomiale Interpolation den Funktionswert $ f(-2)$ mit Hilfe der Daten

\begin{displaymath}
\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c}
x & -1 & 1 & 2 \\ \hline
f(x) & 9 & 1 & 3
\end{array} \; .
\end{displaymath}

Antwort:

Interpolationspolynom: $ p(x)=$ $ x^2+$ $ x+$ ,      geschätzter Funktionswert $ f(-2)\approx p(-2)=$ .


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die reellen Partialbruchzerlegungen der rationalen Funktionen

$\displaystyle f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2}$   und$\displaystyle \qquad
g(x)=\frac{8x^2-12x+12}{x(x^2-2x+2)} \; .
$

Wie lautet die komplexe Partialbruchzerlegung von $ g(x)$ ?

Antwort:


Aufgabe 5:
Lissajous-Figuren sind parametrisiert durch

$\displaystyle \begin{pmatrix}x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1 \\...
...t-\delta_1) +
\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}\cos(\omega_2 t-\delta_2)$   mit $\displaystyle \; t\in [0,2\pi] \; .
$

Ordnen Sie die folgenden Parametersätze den unten abgebildeten Lissajous-Figuren zu:

\begin{displaymath}
\begin{array}{c\vert\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert...
...box{\bf 4)} & 1 & 0 & 1 & 1 & 4 & 3 & \pi/2 & 0 % D
\end{array}\end{displaymath}

\includegraphics[width=.7\linewidth]{lissajous.eps}

Antwort: Geben Sie jeweils die Nummer des zugehörigen Parametersatzes an.

A: ,      B: ,      C: ,      D: .


   

(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 10.3.2017