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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 1


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep}
\dfrac{x^3}{2x^2+x-3}
\hspace{5em}
\textbf{b)}\hspace{\itemsep}
\dfrac{x^2-1}{x^3-4x}
\,.
$

Antwort:
a)
$ x$ $ +$ $ +$
        

    $ x\, +$     
$ +$
        

    $ x\, +$     
b)
$ \dfrac{1}{8}\left(\rule{0ex}{3ex}\right.$
        

    $ x\, +$     
$ +$
        

    $ x\, +$     
$ +$
        

    $ x\, +$     
$ \left)\rule{0ex}{3ex}\right.$
(Polstellen aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep}
\lim_{n\to\infty} \sqrt{n^2+3n}-\sqr...
...hspace{5em}
\textbf{c)}\hspace{\itemsep}
\lim_{x\to 0} (1+2x)^{\frac{1}{4x}+3}
$

Antwort:
a) b) c)
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie das Taylor-Polynom zweiten Grades der folgenden Funktionen im angegebenen Entwicklungspunkt.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep}
\dfrac{3x}{2-x},\ x_0=0
\hspace{5em}
\textbf{b)}\hspace{\itemsep}
\sqrt{3x+1},\ x_0=1
$

Antwort:
a)
$ \dfrac{1}{4} \left(\rule{0em}{3ex}\right.$ $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2} \left)\rule{0em}{3ex}\right.$
b)

$ +$

$ \big(x-$$ \,\big)$ $ +$

$ \big(x-$ $ \,\big)^{2}$
(Brüche gekürzt, Nenner positiv)


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion

$\displaystyle f(x) = x^3-x^2-x $

auf $ [-1,1]$ sowie deren Typ.

Antwort:

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

$ ($ , $ )$         Typ: Maximum Minimum          global: ja nein

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 5:
Bestimmen Sie folgende Integrale.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep}
\int\limits_0^{\pi/2}x\sin x\,dx
\hspace{5em}
\textbf{b)}\hspace{\itemsep}
\int\limits_1^e x^2 \ln x\,dx
$

Antwort:
a)                  b)


Aufgabe 6:
Berechnen Sie
a) $ \displaystyle\int_0^1x^2\ln x\,dx$                  b) $ \displaystyle\int_0^{\pi^2}\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\,dx$                 c) $ \displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}$.

Antwort:

a)
$ /$                 b)
c)
$ (\,\ln$ $ -$ $ \ln$$ )\,/$ $ +$ const.
(Alle Angaben ohne Leerzeichen und in der Reihenfolge: Zahl, dann Buchstabe.)


   

(Autor: Marco Bo▀le) automatisch erstellt am 10.3.2017