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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen - Test 2

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie die reelle Partialbruchzerlegung von

$\displaystyle \dfrac{x^2}{x^3-3x^2+7x-5} \,. $

Antwort:
$ \dfrac{1}{4}\left(\rule{0ex}{3ex}\right.$
$ x\, +$
$ +$
$ \,x\, +$
($ x\, +$ )$ ^{2}\, +$
$ \left)\rule{0ex}{3ex}\right.$    

Aufgabe 2:
Untersuchen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren bzw. absolut konvergieren.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{\cos(\pi n)... ...hspace{5em} \textbf{c)}\hspace{\itemsep} \sum_{n=0}^\infty \dfrac{n^2}{(-2)^n} $

Antwort:
a)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein
b)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein
c)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils das Taylor-Polynom vom Grad $ 3$ zum angegebenen Entwicklungspunkt $ x_0$:
a) $ f(x)=\ln(1+\sinh(x))\,,\quad x_0=0$                 b) $ f(x)=\sqrt{2(1-x)}\,,\quad x_0=-1$


c) $ f(x)=x^3+x^2+x+1\,,\quad x_0=1$.
Antwort:

a)      $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2} \,+$ $ x^{3}$

b)      $ \displaystyle\frac{1}{64}\Big($ $ +$ $ (x+1)$ $ +$ $ (x+1)^{2} \,+$ $ (x+1)^{3}\Big)$

c)      $ +$ $ (x-1)$ $ +$ $ (x-1)^{2} \,+$ $ (x-1)^{3}$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie Nullstellen, Polstellen, Extrem- und Wendepunkte der Funktion

$\displaystyle f(x)=\dfrac{x^3+x}{x^2-1}\,. $

Geben Sie die Asymptoten an und skizzieren Sie den Graphen.


Antwort:

Nullstelle:
Polstellen: ,
Extrempunkte: $ \Big($ , $ \Big)$     Typ: Maximum     Minimum
  $ \Big($ , $ \Big)$     Typ: Maximum     Minimum
Wendepunkt: $ \Big($ , $ \Big)$
Asymptote: $ y$ = $ x$ +

(nach $ x$-Werten aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie folgende Integrale.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep} \int\limits_0^4\frac{x}{\sqrt{x^2+9}... ... \textbf{b)}\hspace{\itemsep} \int\limits_{0}^{\ln 2} \frac{e^{2x}}{3+e^x}\,dx $

Antwort:
a)                  b)
(auf vier Dezimalstellen runden)

Aufgabe 6:
Berechnen Sie

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac... ...\textbf{b)}\hspace{\itemsep} \int\limits_{0}^{\infty} \sin(2x)e^{-3x} \,dx \,. $

Antwort:
a)                  b)

   
(Autor: Marco Boßle) automatisch erstellt am 29.11.2007