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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Test 3


Aufgabe 1:
Bestimmen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind.
a)
Divergiert die Reihe $ \sum\limits_{n=0}^\infty a_n$ , so divergiert auch die Folge $ (a_n)$ .

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

b)
Ist die Funktion $ f$ stetig auf $ \mathbb{R}$ , so ist sie auf jedem abgeschlossenen Intervall $ I\subseteq \mathbb{R}$ beschränkt.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

c)
Es gibt unstetige Funktionen, die Lipschitz-stetig sind.

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

d)
Die Funktionenfolge $ (f_n)$ mit $ f_n(x)=\exp(-nx^2)$ konvergiert gleichmäßig auf $ \mathbb{R}$ .

keine Angabe ,     wahr ,     falsch

e)
Konvergiert die Funktionenfolge $ (f_n)$ gleichmäßig auf $ D\subseteq\mathbb{R}$ , dann konvergiert auch die Funktionenfolge $ (f_n^2)$ gleichmäßig auf $ D$ .

keine Angabe ,     wahr ,     falsch


Aufgabe 2:
Untersuchen Sie die angegebenen Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.

a) $ a_n=\displaystyle{\frac{(-5)^n+7^n}{5^n+(-7)^n}}$                         b) $ a_n=\displaystyle{\sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-2\sqrt{n}}}$
c) $ a_n=\displaystyle{\sqrt[n]{\frac{n^2-1}{n+1}}}$                         d) $ a_n=\displaystyle{\frac{\sqrt{4n^2+1}\; \cdot\; \cos\left(\frac{1}{n}\right)}{n}}$

Antwort:

a)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
b)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
c)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
d)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert


Aufgabe 3:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.

a) $ \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}$                          b) $ \displaystyle{\sum_{n=2}^\infty\frac{(1-\sqrt{n})^2}{n^2-1} }$

Antwort:

a) divergiert        konvergiert                 b) divergiert        konvergiert


Aufgabe 4:
Untersuchen Sie, ob sich die folgenden Funktionen bei $ x_0$ stetig fortsetzen lassen, und geben Sie im Falle der Fortsetzbarkeit den Funktionswert der Fortsetzung bei $ x_0$ an.

a)

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-4}{x^3+3x^2-4} \;, \qquad x_0=-2
$

keine Angabe ,    nicht fortsetzbar ,     fortsetzbar     mit Funktionswert:
b)

$\displaystyle f(x)=\frac{2}{1-x}\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{2}{3x-1}\right)\; , \qquad
x_0=1 $

keine Angabe ,    nicht fortsetzbar ,     fortsetzbar     mit Funktionswert:
c)

$\displaystyle f(x)=4x\cot(2x)\; , \qquad x_0=0
$

keine Angabe ,    nicht fortsetzbar ,     fortsetzbar     mit Funktionswert:

Aufgabe 5:
Unter der Generationszeit von Bakterien versteht man das für die Verdopplung der Zellzahl erforderliche Zeitintervall $ T$ , das unter anderem von der Beschaffenheit des Kulturmediums abhängt.

Betrachtet werden Bakterien, die auf einem nährstoffreichen Kulturmedium die Generationszeit $ T_1=20$ Minuten und auf einem nährstoffarmen Kulturmedium die Generationszeit $ T_2=50$ Minuten besitzen. Die Anfanspopulation auf dem nährstoffarmen Kulurmedium sei zehnmal größer als die Anfangspopulation auf dem nährstoffreichen Medium. Nach wie viel Minuten sind die beiden Populationen gleich groß?


Antwort:


Minuten


   

(Konzipiert von Joachim Wipper) automatisch erstellt am 10.3.2017