Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen] [Suche]

Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 3


Aufgabe 1:
Berechnen Sie

$\displaystyle \int\limits_{2}^{3}\dfrac{x^2+1}{x^3-x^2}\,dx\,.$

Antwort:
(Auf vier Dezimalstellen runden.)


Aufgabe 2:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep}
\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin(...
...{b)}\hspace{\itemsep}
\lim_{x\to \infty}x\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)
$

Antwort:
a)                  b)


Aufgabe 3:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{kx^{k-1}}{2^k}
\,.
$

Geben Sie die Reihendarstellung für die Stammfunktion $ F$ mit $ F(0)=0$ an und bestimmen Sie explizite Ausdrücke für $ F$ und $ f$.

Antwort:

Konvergenzradius:

$ F(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k
x^k $ mit $ a_k$= $ \,^k$.

$ F(x) =$
$ \Big($ $ +$ $ x\Big)^\alpha$

$ \Big($ $ -x\Big)^\beta$
mit $ \alpha=$ , $ \beta=$
     
$ f(x) =$
$ \Big($ $ +$ $ x\Big)^\gamma$

$ \Big($ $ -x\Big)^\delta$
mit $ \gamma=$ , $ \delta=$


Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Umkehrfunktion von

$\displaystyle y=f(x)=x^3-5x+4$

im Punkt $ y_0=f(1)$.

Antwort:

$ \partial_{y} f^{-1}(y_0) =$                  $ \partial_{yy} f^{-1}(y_0) =$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


Aufgabe 5:
Untersuchen Sie folgende Intergale auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep}
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac...
...xtbf{c)}\hspace{\itemsep}
\int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x^2}\,dx
\,.
$

Antwort:
a)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein
b)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein
c)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein


Aufgabe 6:
Geben Sie an, ob die folgenden Ausdrücke konvergieren und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.
a) $ \displaystyle{\pi/\left(\int_0^{\infty}\frac{1}{4\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\,dx\right)}$                         b) $ \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{k}{k^2+1}}$
c) $ \displaystyle{\lim_{x\to 0}\left(\frac{d}{dx}\,e^{-1/x^2}\right)}$                         d) $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}\left(n^3/\binom{n}{3}\right)}$

Antwort:

a)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
b)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
c)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
d)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert


   

(Autor: Marco Bo▀le) automatisch erstellt am 10.3.2017