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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen - Test 3

Aufgabe 1:
Berechnen Sie

$\displaystyle \int\limits_{2}^{3}\dfrac{x^2+1}{x^3-x^2}\,dx\,.$

Antwort:
(Auf vier Dezimalstellen runden.)

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie folgende Grenzwerte

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep} \lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin(... ...{b)}\hspace{\itemsep} \lim_{x\to \infty}x\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right) $

Antwort:
a)                  b)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\displaystyle f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{kx^{k-1}}{2^k} \,. $

Geben Sie die Reihendarstellung für die Stammfunktion $ F$ mit $ F(0)=0$ an und bestimmen Sie explizite Ausdrücke für $ F$ und $ f$.

Antwort:

Konvergenzradius:

$ F(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k x^k $ mit $ a_k$= $ \,^k$.

$ F(x) =$
$ \Big($ $ +$ $ x\Big)^\alpha$
$ \Big($ $ -x\Big)^\beta$
mit $ \alpha=$ , $ \beta=$
     
$ f(x) =$
$ \Big($ $ +$ $ x\Big)^\gamma$
$ \Big($ $ -x\Big)^\delta$
mit $ \gamma=$ , $ \delta=$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Umkehrfunktion von

$\displaystyle y=f(x)=x^3-5x+4$

im Punkt $ y_0=f(1)$.

Antwort:

$ \partial_{y} f^{-1}(y_0) =$                  $ \partial_{yy} f^{-1}(y_0) =$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 5:
Untersuchen Sie folgende Intergale auf Konvergenz bzw. absolute Konvergenz.

$\displaystyle \textbf{a)}\hspace{\itemsep} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\dfrac... ...xtbf{c)}\hspace{\itemsep} \int\limits_{0}^{\infty} \dfrac{\sin x}{x^2}\,dx \,. $

Antwort:
a)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein
b)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein
c)
konvergiert: ja      nein
konvergiert absolut: ja      nein

Aufgabe 6:
Geben Sie an, ob die folgenden Ausdrücke konvergieren und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.
a) $ \displaystyle{\pi/\left(\int_0^{\infty}\frac{1}{4\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\,dx\right)}$                         b) $ \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{k}{k^2+1}}$
c) $ \displaystyle{\lim_{x\to 0}\left(\frac{d}{dx}\,e^{-1/x^2}\right)}$                         d) $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}\left(n^3/\binom{n}{3}\right)}$

Antwort:

a)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
b)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
c)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
d)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert

   
(Autor: Marco Boßle) automatisch erstellt am 29.11.2007