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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 1


Aufgabe 1:
$ M$ und $ N$ seien Mengen mit $ m$ bzw. $ n$ Elementen. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Es gibt genau dann eine bijektive Abbildung von $ M$ nach $ N$, wenn $ m=n$ ist.
b)
Ist $ m>n$, dann gibt es $ \displaystyle \binom{m}{n}$ injektive Abbildungen von $ N$ nach $ M$.
c)
Es gibt $ m!$ bijektive Abbildungen von $ M$ nach $ M$.
d)
$ x \in M \ \Longrightarrow \ x \in \mathcal{P}(M)$.
e)
Es gibt eine bijektive Abbildung von $ \mathbb{N}$ nach $ \mathbb{Q}$.
f)
$ \mathcal{P}(\mathbb{Q})$ und $ \mathcal{P}(\mathbb{R})$ sind gleichmächtig.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 2:
Wie lautet (indirekt) die Aussage des Satzes von Cantor?

Die Potenzmenge $ \mathcal{P}(M)$ einer Menge $ M$ ist mächtiger als die Menge $ M$ selbst.
Gibt es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge $ M$ und ihrer Potenzmenge $ \mathcal{P}(M)$, dann ist $ M$ unendlich.
Es gibt nur dann eine injektive Abbildung von der Menge $ M$ in die Potenzmenge $ \mathcal{P}(M)$, wenn $ M$ endlich ist.
nichts davon.

Aufgabe 3:
Geben Sie bei den folgenden Relationen $ \sim$ auf $ M$ jeweils an, ob $ \sim$ eine Äquivalenzrelation ist. Wenn nicht, welche Bedingung ist verletzt. Dabei sind $ x$ und $ y$ zwei beliebige Elemente aus $ M$.
a)
$ M=$Einwohner von Stuttgart: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow$ $ x$ kennt $ y$.
b)
$ M=\{1,2,3,4\}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ x $ gerade oder $ y$ ungerade.
c)
$ M=\{1,2,\ldots, 10\}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ x + y $ gerade.
d)
$ M=\mathbb{N} \setminus\{0\}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ ( x + y > 3 \ \vee \ x \leq 2)$.
e)
$ M=\mathbb{Z}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ x \geq y$.
f)
$ M=\mathbb{R}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ x \cdot y >0$.
g)
$ M=\mathbb{R} \setminus \{0 \}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ x \cdot y >0$.
h)
$ M=\mathbb{C} \setminus \{0\}$: $ x \sim y \ \Longleftrightarrow \ x \cdot \bar{y} \in \mathbb{R}$.

Antwort:

  $ \sim$ ist eine
Äquivalenzrelation
$ \sim$ ist nicht
reflexiv
$ \sim$ ist nicht
symmetrisch
$ \sim$ ist nicht
transitiv
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Aufgabe 4:
Seien $ p$, $ q$ und $ r$ aussagenlogische Variable.

Welche der folgenden Ausdrücke sind Tautologien?

a)
$ p \vee q \vee r$
b)
$ q \vee \neg q$
c)
$ p \vee (q \wedge r) \Rightarrow (p \vee r)$
d)
$ (p \Rightarrow q) \vee (q \Rightarrow r) \vee (r \Rightarrow
p)$
e)
$ (p \wedge q) \Rightarrow r$

Antwort:

  Tautologie keine Tautologie
a)
b)
c)
d)
e)

Aufgabe 5:
Finden Sie unter der vorgegebenen Alternativen jeweils die korrekte Negation der folgenden Aussagen:

a)
Jede Abbildung $ f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ hat einen Fixpunkt.

Es gibt eine Funktion $ f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$, die keinen Fixpunkt hat.
Keine Funktion $ f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ hat einen Fixpunkt.
Keine Funktion $ f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ hat keinen Fixpunkt.

b)
Jede Primzahl hat einen Nachfolger in der Menge der natürlichen Zahlen.

Jede Primzahl hat einen Nachfolger, der nicht in der Menge der natürlichen Zahlen liegt.
Keine Primzahl hat einen Nachfolger in der Menge der natürlichen Zahlen..
Es gibt eine Primzahl, die keinen Nachfolger in der Menge der natürlichen Zahlen hat.

c)
Alle Zwerge sind traurig, als Schneewittchen heiratet.

Kein Zwerg ist traurig, als Schneewittchen heiratet.
Es gibt einen Zwerg, der nicht traurig ist, als Schneewittchen heiratet.
Es gibt einen Zwerg, der traurig ist, als Schneewittchen heiratet.

d)
Alle ganzen Zahlen sind durch 2 oder 3 teilbar.

Keine ganze Zahl ist durch 2 oder 3 teilbar.
Es gibt eine ganze Zahl, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist.
Es gibt eine ganze Zahl, die nicht durch 2 oder nicht durch 3 teilbar ist.

e)
Es gibt fliegende Fische, die das kleine Einmaleins oder Polynomdivision beherrschen.

Es gibt nicht-fliegende Fische, die das kleine Einmaleins oder Polynomdivision beherrschen.
Alle nicht-fliegenden Fische beherrschen weder das kleine Einmaleins noch Polynomdivision.
Alle fliegenden Fische beherrschen weder das kleine Einmaleins noch Polynomdivision.


   

(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 12.2.2008