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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 2


Aufgabe 1:
Welche der folgenden Gleichungen in den Unbekannten $ x,y,z$ und den Konstanten $ a_k$ können Teil eines linearen Gleichungssystems sein?

a)
$ a_1 x = a_2$
b)
$ a_1 x + a_2 y + a_3 z = a_4$
c)
$ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 = a_5$
d)
$ a_1 x^2 + a_2 y = a_3$
e)
$ a_1^2 x = a_2^{-1}$
f)
$ \sqrt{x} = a_1$

Antwort:

  möglich nicht möglich
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 2:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

Die Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystems über einem Körper wird nicht verändert, wenn man ...

a)
... ein geeignetes Vielfaches einer Zeile auf eine andere Zeile addiert.
b)
... eine beliebige Zeile streicht.
c)
... beliebig viele Nullzeilen streicht.
d)
... eine Zeile mit einem beliebigen Körperelement multipliziert.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 3:
Gegeben sei

$\displaystyle A=\left(\begin {array}{cccc} 3&5&11&6\\
0&5&5&0\\
1&5&7&2
\end {array}\right) \, \in \mathbb{R}^{3 \times 4}. $

Bestimmen Sie eine Basis $ v_1,v_2$ des Lösungsraumes des homogenen linearen Gleichungssystems $ Ax =
0$ und geben Sie für die Vektoren

$\displaystyle {\bf a)} \quad z = \left(\begin{array}{c} 11 \\ 5 \\
7 \end{arra...
...ay} \right)\,, a= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 2 \\
7 \end{array} \right)
$

an, welche der Mengen
$ M_1=\emptyset$
$ M_2=\{a\}$
$ M_3=\{\alpha \cdot a \, ; \, \alpha \in \mathbb{R} \} $
$ M_4=\{a + \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \, ; \, \lambda_i \in \mathbb{R} \, , \, (i = 1,2)\}$
$ M_5=\{\alpha \cdot a + \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 \, ; \alpha \in \mathbb{R} \, , \, \lambda_i \in \mathbb{R} \, , \, (i = 1,2)\}$
den vollen Lösungsraum von $ Ax=z$ beschreibt.

Antwort:

$ v_1 = \left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
-2
0
0
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$,     $ v_2 = \left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
2
1
0
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$

  $ M_1$ $ M_3$ $ M_3$ $ M_4$ $ M_5$
a)
b)
c)

Aufgabe 4:
Setzen Sie die folgenden Sätze mit jeweils einer der vorgegebenen Alternativen so fort, dass wahre Aussagen entstehen.

a)
Ein homogenes lineares Gleichungssystem ...

... ist stets lösbar.
... besitzt stets unendlich viele Lösungen.
... besitzt unendlich viele Lösungen, falls es lösbar ist.
... besitzt höchstens endlich viele Lösungen.

b)
Ein lösbares inhomogenes lineares Gleichungssystem ...

... besitzt stets die triviale Lösung.
... besitzt stets einen Untervektorraum als Lösungsraum.
... besitzt stets einen affinen Teilraum als Lösungsraum.
... besitzt einen Lösungsraum, dessen Dimension echt größer ist als die des Lösungsraumes des entsprechenden homogenen Systems.

c)
Die allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems der Form $ Ax=b$ erhält man, indem man ...

... den Vektor $ b$ zu der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems addiert.
... eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems zu dem Vektor $ b$ addiert.
... eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems zu der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems addiert.


Aufgabe 5:
Es sei $ K$ ein Körper und $ A \in K^{m \times n}$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Das lineare Gleichungssystem $ Ax = 0$ ist nur lösbar, falls $ \operatorname{rg}(A)=m$.

b)
Das lineare Gleichungssystem $ Ax = b$ ist genau dann lösbar, wenn der Rang von $ A$ mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix übereinstimmt.

c)
Ist $ m=n$ und $ \operatorname{det}(A) \not= 0$, so ist das lineare Gleichungssystem $ Ax = b$ eindeutig lösbar.

d)
Ist $ K$ ein unendlicher Körper, so hat jedes lineare Gleichungssystem der Form $ Ax = b$ unendlich viele Lösungen.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)

   

(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 29.4.2009