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Mathematik-Online-Test:

Lineare Algebra, Test 5


Aufgabe 1:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über quadratische Matrizen $ A$ und $ B$ wahr oder falsch sind.

a)
det ($ A+B$) = det ($ A$) + det ($ B$)
b)
det ($ A \cdot B$) = det ($ A$) $ \cdot$ det ($ B$)
c)
det ($ A^{-1}$) = - det ($ A$)
d)
det ($ A^{-1}$) = (det ($ A))^{-1}$
e)
det ($ -A$) = $ (-1) \cdot$ det ($ A$)

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)

Aufgabe 2:
Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen über eine quadratische Matrix $ A$ wahr oder falsch sind.

a)
$ A$ ist invertierbar      $ \Rightarrow$     det ($ A$) $ \not=
0$
b)
$ A$ ist invertierbar      $ \Leftarrow$     det ($ A$) $ \not=
0$
c)
Ist det ($ A$) $ \not=
0$, so ist die lineare Abbildung $ x \mapsto
Ax$ injektiv.

d)
Ist die lineare Abbildung $ x \mapsto
Ax$ injektiv, so ist det ($ A$) $ \not=
0$.

e)
Ist det ($ A$) $ \not=
0$, so ist die lineare Abbildung $ x \mapsto
Ax$ surjektiv.

f)
Ist die lineare Abbildung $ x \mapsto
Ax$ surjektiv, so ist det ($ A$) $ \not=
0$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)

Aufgabe 3:
Sei $ A \in K^{n \times n}$, und $ \phi: x \longmapsto Ax$ eine lineare Abbildung zwischen $ K$-Vektorräumen. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
Das charakteristische Polynom von $ A$ lässt sich berechnen als det ( $ A - \lambda E_n$).
b)
Das charakteristische Polynom von $ A$ ist das Produkt der Eigenwerte von $ \phi$.
c)
Die Eigenwerte von $ \phi$ sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms von $ A$.
d)
Der Grad des charakteristischen Polynoms ist $ n$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 4:
Sei $ V$ ein $ n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $ K$ und $ \Delta: V^n \longrightarrow K$ eine Volumenform. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.

a)
$ \Delta$ ist multilinear (d.h. linear in jedem Argument).
b)
$ \Delta$ ist alternierend (d.h. falls $ x_i = x_j$ für $ 1 \leq i
\not= j \leq n$, dann ist $ \Delta (x_1 , ... , x_n) = 0$).
c)
$ \Delta$ ist schiefsymmetrisch (d.h. für $ 1 \leq i
\not= j \leq n$ ist $ \Delta (x_1 , ... , x_i , ... , x_j , ... ,
x_n) = - \Delta (x_1 , ... , x_j , ... , x_i , ... , x_n) $).
d)
Sind die Vektoren $ x_1 , ... , x_n$ linear abhängig, dann ist $ \Delta (x_1 , ... , x_n) \not= 0$.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)

Aufgabe 5:
Berechnen Sie die Determinante von

\begin{displaymath}
A= \left(
\begin{array}{cccc}
1&2&0&0\\ 2&1&2&-2\\ 0&7&0&0\\ 3&2&3&1
\end{array}\right). \quad \quad
\end{displaymath}

Antwort:

$ \det(A)=$

Aufgabe 6:
$ A$ sei eine reelle $ 4 \times 4$-Matrix. Bestimmen Sie jeweils den Faktor $ c$ in $ \det(B)=c \cdot \det(A)$, wenn die Matrix $ B$ durch eine der folgenden Manipulationen aus $ A$ hervorgeht. Bei welchen der Fälle ändert sich der Faktor $ c$, wenn $ A$ und $ B$ nicht reelle, sondern komplexe Matrizen sind?

a)
Vertauschen der ersten beiden Spalten.
b)
Addition des Doppelten der dritten Spalte zur ersten Spalte.
c)
Ersetzen der vierten Spalte durch die Summe der ersten drei Spalten.
d)
Verschieben aller Spalten um eins nach rechts, wobei die letzte Spalte zur ersten wird.
e)
Multiplikation der zweiten Zeile mit $ 5$.
f)
Multiplikation der Matrix mit $ -2$.

Antwort:

Faktor $ c$:
a)     b)     c)     d)     e)     f)     

Fälle bei denen sich der Faktor $ c$ ändert:

a), c), d)      b), e), f)      bei allen      bei keinem

Aufgabe 7:
Es sei $ A \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Die Spalten von $ A$ spannen in $ \mathbb{R}^n$ ein Parallelepiped $ P$ mit dem Volumen $ \vert\det(A)\vert$ auf.
b)
Ist $ n=2$ und sind $ s_1$ und $ s_2$ die Spalten von $ A$. Dann gilt $ \vert s_1 \times s_2\vert=\vert\det(A)\vert$.
c)
Sei $ n=3$. Unter der von $ A$ induzierten affinen Selbstabbildung $ x \mapsto Ax$ des $ \mathbb{R}^3$ wird ein Würfel genau dann auf einen Würfel abgebildet, wenn $ \det(A) \neq 0$ ist.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)

   

(Prüfungsvorbereitungskurs LAAG) automatisch erstellt am 12.2.2008